În algebră, deseori, cu simplificarea expresiilor și calcule diferite, se folosesc legile relative și combinate.
Aceste legi sunt valabile și pentru vectori.
Reamintește regula pentru adăugarea de vectori - regula unui triunghi.
Să presupunem că ni se dau doi vectori a și b.
Din punctul A ales arbitrar, complotăm vectorul AB egal cu vectorul a.
Apoi, din punctul B, vom postula vectorul BC egal cu vectorul b.
Vectorul AC este numit suma vectorilor a și b.
Utilizăm această regulă triunghi pentru a demonstra următoarea teoremă.
Pentru orice vectori a. b și c au următoarele egalități:
suma vectorilor a și b este egală cu suma vectorilor b și a (legea deplasării);
suma vectorilor a și b și c este egală cu suma vectorilor a și b plus c (legea combinată).
Pentru a dovedi legea de relocare, considerăm cazul în care vectorii a și b nu sunt coliniari, adică sunt non-zero și nu se află pe una sau în linii paralele (considerați în mod independent cazul vectorilor coliniari).
Din punctul arbitrar A, vom postula vectorul AB egal cu vectorul a, iar vectorul AD este egal cu vectorul b.
Pe baza vectorilor construiți, vom completa paralelajul ABCD astfel încât vectorul AB să fie egal cu vectorul DC, iar vectorul AD este egal cu vectorul BC.
Conform regulii triunghiului, suma vectorilor AB și BC este egală cu vectorul AC; este egal cu suma vectorilor a și b.
Pe de altă parte, suma vectorilor AD și DC este, de asemenea, egală cu vectorul AC; suma vectorilor b și a.
Astfel, suma vectorilor a și b este egală cu suma vectorilor b și a.
Legea relațională este dovedită.
Pentru a dovedi legea combinatorie am amâna dintr-un punct arbitrar A vectorul AB egal cu vectorul a, din punctul B vectorul BC egal cu vectorul b, iar din punctul C CD vectorial egal cu vectorul c.
Considerăm suma vectorilor a și b și vectorul c din punctul de vedere al regulii triunghiului: suma vectorilor a și b este egală cu vectorul AC, la rândul său, suma vectorului AC și vectorul c este egal cu vectorul AD.
Acum, luați în considerare suma vectorilor a și b plus c: suma vectorilor b și c, conform figurii, este egală cu vectorul BD, la rândul său, suma vectorilor a și BD este egală cu vectorul AD.
În urma acestui fapt, suma vectorilor un plus b și c este egală cu suma vectorilor a și b plus c.
Asta dovedește legea combinată.
Teorema este dovedită.
Este important de remarcat faptul că, în dovada legii comutativă a fost justificată de legea paralelogramului de adăugare a vectorilor non-colineare: să se stabilească vectori coliniare a și b, este necesară dintr-un punct A arbitrar să amâne vectorul AB este egal cu vectorul a și vectorul AD este egală cu vectorul b, apoi termina ABCD paralelogram, vectorul AC este egal cu suma vectorilor a și b.
Regula triunghiului și regula paralelogramului găsesc suma a doi vectori, dar cum se adaugă mai mulți vectori?
Pentru a adăuga mai mulți vectori, este necesar să adăugați primul vector la cel de-al doilea, apoi să adăugați suma lor la cel de-al treilea vector și așa mai departe.
Din legile adăugării de vectori rezultă că suma mai multor vectori nu depinde de ordinea în care are loc adăugarea vectorilor.
Luați în considerare o imagine care reflectă suma vectorilor a, b și c:
dintr-un punct arbitrar Un vector întârziat AB este egal cu vectorul și apoi de la punctul B întârziat vectorul BC este egal cu vectorul b, și în cele din urmă, din punctul C este amânată CD vector, este egal cu vectorul c.
Ca rezultat, obținem vectorul AD egal cu suma vectorilor a, b și c.
Dacă vom continua procesul de amânare a vectorilor, putem construi suma a patru, cinci, orice număr de vectori.
Regula de construire a sumei mai multor vectori se numește regula unui poligon: dacă A1. A2. ..., An sunt puncte arbitrare ale planului, apoi suma vectorilor A1, A2. A2 A3. ..., A n -1A n este egal cu vectorul A1 A n.
Această egalitate este valabilă pentru toate punctele din A1. A2. ..., A n. în special, când unele dintre ele coincid.
Este important de observat că dacă începutul primului vector coincide cu sfârșitul ultimului vector, atunci suma acestor vectori este egală cu vectorul zero.
Deci, să rezumăm:
- Pentru orice vectori a, b și c, următoarele egalități dețin:
suma vectorilor a și b este egală cu suma vectorilor b și a;
suma vectorilor a și b și c este egală cu suma vectorilor a și b plus c.
- Pentru rabatarea vectori noncollinear a și b, trebuie să amâne de la un vector AB este egal cu vectorul a și vectorul AD, egal cu vectorul b, apoi termina ABCD paralelogram, în timp ce vectorul AC este suma vectorilor a și b (în general, paralelogram).
- Dacă A1. A2 ... A n sunt puncte arbitrare ale planului, apoi suma vectorilor
A1 A2. A2 A3. A n -1A n este egal cu vectorul A1 А n (regula poligon).