Poisson integral

În teoria probabilității un rol important îl joacă un integral necorespunzător

Poisson integral
, care este numit integral Poisson. După cum este menționat în capitolul 7, funcția
Poisson integral
nu are un element antiderivativ elementar și integralul nedefinit
Poisson integral
se referă la așa-numitele integrale "neconverse". Cu toate acestea, pentru a calcula necorespunzătoare
Poisson integral
poți. Înainte de a-și găsi sensul, vom vedea că aceasta converge.

De atunci, dar

Poisson integral
, adică prin definirea convergenței integralelor necorespunzătoare ale genului
Poisson integral
converge. prin urmare
Poisson integral
converge pe baza comparației.

Pentru a calcula valoarea integratului Poisson, aplicăm această metodă artificială: considerăm integralele duble

Poisson integral
, unde aria de integrare este primul trimestru al planului de coordonate (figura 56).

În coordonate carteziene

Poisson integral

(ne amintim că valoarea unui integral integrat nu depinde de desemnarea variabilei de integrare).

Pe de altă parte, trecând la sistemul de coordonate polare, primim:

.

8.13. Calcularea integrala de suprafata a primului tip (suprafata)

Să presupunem că la suprafață

Poisson integral
, definită de ecuație, o funcție continuă
Poisson integral
. Prin definiție, se numește un element de suprafață al primului tip al acestei funcții

,

în cazul în care punctele, și

Poisson integral
- părți mici ale suprafeței
Poisson integral
, la care este rupt atunci când se compilează suma integrală (figura 10).

Presupunem că funcția

Poisson integral
diferențiabilă
Poisson integral
, adică, în orice punct S se poate desena un plan tangent.

Poisson integral

regiune

Poisson integral
este o proiecție
Poisson integral
în avion
Poisson integral
. Exprimăm elementul de suprafață
Poisson integral
prin proiecția sa
Poisson integral
(Figura 57). Pentru aceasta folosim afirmația binecunoscută că dacă
Poisson integral
- proiecția unei zone plate cu o suprafață de
Poisson integral
,
Poisson integral
, unde
Poisson integral
Unghi între planul regiunii și planul de proiecție.

Desenăm într-un punct arbitrar elementul selectat al suprafeței

Poisson integral
tangent avion și să lăsați
Poisson integral
- partea pe care se proiectează
Poisson integral
. Deoarece funcția
Poisson integral
este diferențiată, apoi suprafața elementului
Poisson integral
, unde
Poisson integral
unghiul dintre planul tangent și plan
Poisson integral
, care este egal cu unghiul dintre normalele lor.

Noi calculam

Poisson integral
. Dacă rescriim ecuația de suprafață
Poisson integral
într-o formă implicită, atunci (vezi capitolul 6), atunci,
Poisson integral
(vezi capitolul 2).

În punctele de pe suprafață

Poisson integral
, unde
Poisson integral
, funcție
Poisson integral
ia valori, prin urmare, în conformitate cu definiția, integrale de suprafață a primului tip poate fi redusă la un integrat dublu:

Astfel, calculul integrității de suprafață a primului tip reduce la calcularea integrala dublă de la proiecția suprafeței date pe plan

Poisson integral
.

NOTĂ. Dacă suprafața

Poisson integral
este convenabil să se proiecteze pe un alt plan de coordonate, apoi formulele (8.17) și (8.18) se vor schimba în consecință.

P

Poisson integral
Versificator. calcula
Poisson integral
, dacă
Poisson integral
o parte din planul situat în primul octant (figura 58).

Din ecuația avionului obținem:

. În plus, în toate punctele planului, prin urmare, prin proprietatea 1 a integralului definit: zona proiecției

Poisson integral
(Figura 58) este în mod evident egal cu 1.

Luați în considerare un exemplu puțin mai complex.

EXEMPLU. calcula

Poisson integral
dacă
Poisson integral
o parte din suprafața unui paraboloid eliptic
Poisson integral
, sculptat din el de un cilindru
Poisson integral
(Figura 59).

Poisson integral

Articole similare