Se spune că o serie funcțională este convergentă uniform pe intervalul [a. b] dacă pentru fiecare e> 0 se poate găsi un număr N astfel încât pentru n> N și orice x pentru intervalul [a. b] inegalitatea deține.
Un test pentru convergența uniformă Weierstrass. Seria funcțională converge absolut și uniform pe intervalul [a. b] dacă există o serie numerică convergentă cu termeni pozitivi, cum ar fi.
O serie este numită majorizare (amplificare), sau majorant.
Un exemplu. Seria converge uniform pentru x Î R. Deoarece majorant () converge, deoarece este o serie armonică generalizată Dirichlet cu exponent mai mare decât unul (vezi exemplul 4.2.3.5).
Vom enumera proprietățile importante ale seriilor uniform convergente.
1. Dacă o serie de funcții continue converg uniform în D. atunci suma este o funcție continuă în acest domeniu.
2. O serie uniform convergentă poate fi integrată pe termen lung; .
3. Dacă o serie constând din derivate dintr-o serie convergentă converge uniform, atunci ea poate fi diferențiată pe termen lung; .
Un exemplu. Este posibil să se diferențieze termenul de serie funcțional pe termen?
Soluția. Seria inițială converge uniform pe baza lui Weierstrass, deoarece seria majorizatoare converge. Cu toate acestea, seria compusă din derivatele termenilor săi diferă, deoarece condiția necesară pentru convergența seriei nu este deținută, ceea ce constă în tendința de a zero la termenul general al seriei ca n tinde spre infinit:
Concluzie: seria originală nu poate fi diferențiată pe termen lung.