Declarația problemei. Să considerăm starea staționară a unei particule cuantice de masă care se deplasează într-un câmp elastic unidimensional cu potențială energie unde este coeficientul de rigiditate. Figura arată energia totală a particulei. Punctele de cotitură, în care energia cinetică este zero, au coordonatele [l1]
Hamiltonianul sistemului în cauză are forma
Stările staționare vor fi determinate din soluția următoarei ecuații Schrödinger
Aici este introdusă frecvența circulară În ecuația (s.2) trecem la variabile fără dimensiune. Am pus unde. Atunci Hamiltonianul (s.1) ia forma
Mai mult, pentru a rezolva problema spectrală, se poate proceda în mod obișnuit, rezolvând direct ecuația diferențială. Cu toate acestea, să folosim în alt mod reprezentarea operatorilor de creație și anihilare [l2].
Acest operator nu este un operator hermitian. Operatorul Hermitian alăturat operatorului are forma
Comutatorul operatorilor este
Pe de altă parte
În reprezentarea operatorilor, Hamiltonianul modelului unui oscilator cuantic armonic are forma simplă
Aici introducem operatorul
Astfel, Hamiltonianul sistemului este o funcție liniară a operatorului. Soluția problemei spectrale de interes pentru noi se reduce la determinarea proprietăților proprii și a valorilor proprii ale unui operator mai simplu.
Problema spectrală pentru operator:
Să investigăm proprietățile operatorului.
1. Valorile proprii ale operatorului sunt non-negative.
De fapt, presupunând că funcțiile sunt normalizate la unitate, găsim
unde egalitatea este zero dacă Din dovezile rezultă că spectrul operatorului. și prin urmare Hamiltonianul este limitat mai jos. Limitarea se datorează faptului că operatorul potențial de energie are un minim în acest punct.
2. Să presupunem că o funcție este o funcție proprie a unui operator cu valoarea proprie. Se poate demonstra acest lucru
Deci, dacă asta. în mod evident, o funcționare proprie a operatorului. a este semnificația proprie. Dacă apoi, ținând cont de afirmația 1,
unde este funcția proprie a operatorului. corespunzând celei mai mici valori proprii. Deoarece este cea mai mică valoare proprie, atunci, conform Aserțiunii 2, obținem
Valoarea proprie este, de asemenea, valoarea medie a operatorului în stare:
În consecință, valoarea minimă a operatorului este zero.
4. Valorile proprii ale operatorului sunt numere întregi.
De fapt, să fie valoarea proprie a operatorului. situată în intervalul respectiv. a este funcția proprie corespunzătoare. Acționăm secvențial o dată pe operator asupra funcției. Ca rezultat, obținem o succesiune de valori proprii :. Ultima valoare personală din această secvență se află în intervalul respectiv. Funcția proprie îi corespunde. Să operăm operatorul asupra funcției. avem
Rezultatul se datorează faptului că acțiunea operatorului conduce la o valoare proprie. ceea ce este imposibil (a se vedea afirmația 1). Valoarea proprie este valoarea medie a operatorului în stare:
Prin urmare, putem concluziona
At este cea mai mică valoare proprie.
5. Să fie o funcŃie proprie a unui operator cu valoarea proprie, să arătăm că o funcŃie este de asemenea o funcŃie proprie a unui operator cu o valoare proprie, de fapt, folosind relația de comutare (s.6), obținem
Datorită nelimitării operatorilor cinetici și potențiali de energie, spectrul operatorului de sus este nelimitat.
Operatorii sunt numiți operatori de creare și anihilare pentru particule, iar operatorul este numit operatorul numărului de particule. Operatorii similari sunt folosiți pe scară largă în diferite secțiuni ale mecanicii cuantice. O particulă nu trebuie înțeleasă ca o particulă reală, ci ca un cuantum al energiei
Lăsați funcția proprie a operatorului numărului de particule. atunci
În consecință, problema stărilor staționare ale unui oscilator cuantic armonic ia forma
cu un spectru discret de energie. care luând în considerare (s.13) are forma:
Numărul este numit principalul cuantum. Spectrul de energie (s.15) este echidistant, adică Distanța dintre nivelele adiacente este constantă și nu depinde de
Observăm că, cu ajutorul operatorilor de creație și de anihilare, spectrul energetic este determinat prin depășirea soluției directe a problemei spectrale (s.14), dar folosind doar relația de comutare (s.6).
Definim funcțiile proprii din (5.14). Presupunem că funcțiile proprii sunt ortogonale și normalizate la unitate;
Să considerăm acțiunea operatorilor cu privire la funcția de undă. deoarece
Se determină coeficientul. Luați în considerare produsele scalare
Să stabilim acțiunea operatorului asupra funcției. deoarece
Ca rezultat, obținem
Ne îndreptăm acum spre definirea formei explicite a funcțiilor de undă a stărilor staționare ale unui oscilator cuantic armonic. În acest scop, folosim proprietățile (s16) și (s.17) ale operatorilor de anihilare și creație. Pentru a rezolva problema, este necesar, în primul rând, să determinați funcția de undă. care corespund celei mai mici valori proprii.Funcțiunile valurilor pentru valorile proprii pot fi determinate utilizând proprietatea (s.17) a operatorului de creare. deoarece
atunci luând în considerare forma explicită (s.4) pentru operatorul de anihilare, obținem următoarea ecuație diferențială de ordinul întâi
Aici am ținut cont de condiția de normalizare Funcțiile rămase sunt obținute folosind proprietatea (s.17) a operatorului de creare:
Pentru a determina rezultatul acțiunii puterii operatorului de creație asupra funcției de undă a stării de bază. ia în considerare următoarea expresie. Avem
Rescrim expresia (s.20) în formular
Mai mult, înlocuim operatorul cu produsul operatorului. Ca rezultat, obținem
Având în vedere forma explicită a operatorului. ajungem la produsul operatorilor. și anume la produsul operatorilor Ca rezultat, expresia pentru funcția de undă ia forma
sau, luând în considerare (s.19)
În cele din urmă, funcțiile proprii ale operatorului hamiltonian pentru un oscilator cuantic armonic pot fi reprezentate sub forma
Funcțiile sunt bine cunoscute în matematică și se numesc polinoame Chebyshov-Hermite. Aceste funcții formează un set ortonormal complet [14]:
În final, revenind la variabila dimensională, soluția problemei spectrale (s.2) are forma
Pentru a calcula diferite cantități fizice medii, avem nevoie de relațiile de recurență pentru funcțiile și formulele pentru variabila lor diferențiere Ele sunt ușor de dedus, dacă folosim expresiile (S16), (S.17) pentru operatorii de creare și anihilare. Luând în considerare forma lor explicită, obținem
Compararea oscilatoarelor clasice și quantum armonice
1. Energia totală a unui oscilator armonic clasic poate lua orice valoare pozitivă, începând cu. Atunci când o particulă este în repaus la origine. În cazul cuantumului, rezultatul este fundamental diferit. Energia totală poate lua doar valori discrete. Spectrul de energie este echidistant independent de. Cea mai mică valoare [15] a energiei se numește energia punctului zero.
2. Valorile medii ale coordonatelor și ale momentului oscilatorului clasic sunt zero: Pentru un oscilator cuantic, valoarea medie a coordonatelor și a momentului sunt, respectiv,
Luând în considerare expresiile (s.25), (s.26), găsim
Aici este luat în considerare faptul că funcțiile formează un set complet ortonormal, astfel încât
Astfel, pentru oscilatorul clasic și quantum, valorile medii ale coordonatelor și ale momentului sunt zero.
3. Pentru un model oscilator armonic clasic, energia sa este legată de deviația rădăcină medie-pătrată de la poziția de echilibru prin expresia
Să verificăm dacă o relație similară există în cazul cuantumului. În acest scop, se calculează, folosind formulele (s.25), (s.26), fluctuațiile pătrate medii-pătrată ale coordonatelor într-o stare arbitrară. Avem
Luând în considerare expresia pentru spectrul energetic din (s.24), obținem
Astfel, atât în cazul clasic, cât și în cel cuantic, relația dintre deviația energiei și rădăcina medie-pătrată din poziția de echilibru este aceeași.
4. Teorema virială este valabilă pentru oscilatorul clasic. . unde este energia cinetică medie a particulei pe durata oscilațiilor. Care este relația dintre energia cinetică medie și energia potențială a oscilatorului într-o stare cuantică arbitrară. Luați în considerare mediul
Din aceasta, direct, urmează
Astfel, chiar și în cazul cuantic, energia cinetică medie este egală cu energia potențială medie. și anume teorema virii este satisfăcută.
5.1. Să discutăm câteva trăsături ale stărilor cuantice ale unui oscilator armonic. În Fig. este prezentată o diagramă a nivelurilor cuantice și a energiei potențiale. De exemplu, luați în considerare un nivel cuantic cu energie. În cazul clasic, o particulă cu această energie poate efectua mișcări vibraționale între puncte și (puncte de cotitură, unde energia cinetică dispare). Indicăm amplitudinea oscilațiilor cu u și determinăm probabilitatea de a găsi particula în regiune. situată în interiorul segmentului.
Această probabilitate este
unde timpul pentru care particulă trece distanța și perioada de oscilație. Lăsați perioada oscilațiilor să fie
unde este viteza particulei. Exprimarea vitezei unei particule printr-o variabilă Pentru simplitate, presupunem că soluția ecuației de mișcare pentru un oscilator clasic are forma
Astfel, probabilitatea necesară este
Expresia din fața ei este evident densitatea de probabilitate. Noi o numim
Observăm că pentru distribuție (s.28) este îndeplinită condiția de normalizare. Din forma distribuției (s.28), este clar că funcția are un minim în acest punct. în cazul punctelor de cotitură, probabilitatea întâlnirii unei particule în regiunea centrală este mică deoarece viteza particulelor este maximă aici, în vecinătatea punctelor de cotitură, viteza este mică și probabilitatea de a întâlni o particulă este mai mare.
Să considerăm un oscilator cuantic armonic. Probabilitatea găsirii unei particule într-o regiune într-o stare cuantică arbitrară este
Într-o stare cu energie
Distribuția are trei puncte extremum - un punct minim și două puncte maxime (puncte și respectiv). Pentru nivelul punctului de cotitură, u are coordonate. Este important ca distribuția să fie definită în afara punctelor de cotitură, adică Există o probabilitate nenuloasă de a găsi o particulă în afara regiunii
5.2. Calculam variațiile coordonatelor și impulsurilor într-o stare cuantică arbitrară. Deoarece coordonatele medii și impulsul mediu pentru oscilatorul cuantic sunt zero, avem
Definiți produsul. Avem
În starea de bază, în relația de incertitudine, egalitatea
și anume energia zero este cea mai mică energie compatibilă cu relația de incertitudine.
Astfel, relația de incertitudine este îndeplinită pentru stările unui oscilator cuantic armonic
La temperaturi scăzute, atomii dintr-o moleculă sau solid efectuează oscilații mici în apropierea poziției de echilibru. Studiul experimental al cristalelor de dispersare a luminii a arătat că temperatura scade intensitatea luminii împrăștiate nu tinde la zero (așa cum rezultă din teoria clasică), și tinde la o anumită valoare limită, chiar și în absolut zero a temperaturii. Potențialul de energie la temperaturi scăzute în apropierea poziției de echilibru poate fi aproximată printr-un potențial pătratică și, prin urmare, modelul cuantic armonic oscilator aici este o bună aproximare. Examinarea în cadrul acestui model indică existența vibrațiilor punctului zero corespunzând stării de bază cu energie
Pentru a concluziona paragraful 5, observăm că, după cum rezultă din discuție, starea de bază c și statele excitate mai apropiate de ea sunt foarte diferite de cele clasice. Strong încântat de state cu. dimpotrivă, diferă puțin de cele clasice.
În cazul general, distribuția coordonatelor unei particule într-o stare cuantică arbitrară cu o funcție de undă. este descrisă de dependență (s.29). În starea de bază, distribuția coordonatelor particulei este o distribuție Gaussiană bine cunoscută în teoria probabilităților:
arătând că particula în această stare este localizată în regiunea centrală (- punctul maxim). Pentru un oscilator clasic, distribuția în cazul cuantic pentru u are o probabilitate nenuloasă de a detecta o particulă în afara puțului potențial. În acest caz, probabilitatea scade exponențial în afara regiunii. Atunci când distribuția unei particule cuantice oscilează puternic în regiune. Amplitudinea oscilațiilor scade și, în medie, se apropie
Reguli de selecție. Intensitatea radiației dipolice și quadrupole
Vom discuta, fără a intra în detalii, problema emisiei unui oscilator cuantic armonic. Pe această problemă, va fi ilustrată o altă caracteristică a sistemelor cuantice legate de așa-numitele reguli de selecție.
Tranziții dipolice. Intensitatea emisiei spontane (de exemplu, energia radiației pe unitate de timp) din stratul superior. cu energie la un nivel scăzut cu energie este
unde sarcina, viteza luminii, agregatul formează o matrice. Pentru a calcula elementul matricei, folosim relațiile de recurență pentru funcțiile proprii
Din expresia (s.35) rezultă că numai acele elemente de matrice (tranzițiile permise) vor fi diferite de zero, pentru care oricare dintre ele. și anume regulile de selecție pentru starea cuantică vor fi determinate de formula:
Din regulile de selecție rezultă că tranzițiile sunt posibile numai între nivelele învecinate.
În conformitate cu regulile de selecție, avem următoarele elemente de matrice non-zero asociate cu tranzițiile dipolului:
Pentru frecvența radiațiilor. avem
Deoarece tranzițiile spontane sunt posibile din partea de sus în jos (), în conformitate cu (s.34) pentru intensitatea radiației unui oscilator armonic, găsim
În regiunea numerelor cuantice mari. când și în (s.37)
putem neglija energia punctului zero, obținut prin această expresie are aceeași formă rezultatul analizei clasice a radiației oscilatorului armonic care este înțeleasă de energia medie a unui oscilator armonic pentru perioada de oscilație