Acasă | Despre noi | feedback-ul
3.1. Ecuația unei suprafețe în spațiu.
Poziția unui punct în spațiu este determinată de trei coordonate.
Un sistem dreptunghiular de coordonate carteziene în spațiu este reprezentat de trei linii perpendiculare Ox. Oy. Oz. echipate cu scale și direcții. Astfel de linii drepte se numesc axe de coordonate. Coordonatele punctului M0 (x0, y0, z0) sunt coordonatele bazelor perpendicularelor, omise din acest punct de către axele de coordonate.
Ecuația unei suprafețe (în sistemul de coordonate ales) este o ecuație cu trei variabile F (x, y, z) = 0, care este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct care se află pe această suprafață, și numai ele.
3.2. Avion în spațiu.
Să M0 avionul trece prin punctul (x0, y0, z0) = perpendicular pe vectorul (A, B, C). Aceste condiții definesc un singur plan în spațiul Oxyz. Vectorul este numit vectorul normal al planului. Pentru un punct arbitrar al M plan (x, y, z) ( «punct curent"), vectorii = (x-x0, y-y0, z-z0) și trebuie să fie perpendiculare. Prin urmare,
Produsul scalar al acestor vectori este zero, adică (.) = 0. Ecuația rezultată este reprezentată în forma coordonată:
Ecuația (18) reprezintă ecuația planului. perpendicular pe vectorul dat = (A, B, C) și trecând prin punctul dat M0 (x0, y0, z0) (figura 9).
Exemplul 16. Scrieți ecuația planului care trece prin punctul M0 (-1,0,2) și perpendicular pe vectorul = (2,5, -1).
Soluția. Ecuația necesară are forma 2 (x + 1) + 5 (y-0) -1 (z-2) = 0. # 9632;
Ecuația planului scris în formă
Axă + După + Cz + D = 0 (19)
(unde D = -Ax0-By0-Cz0), se numește ecuația generală a planului. Deci, în exemplul anterior, ecuația poate fi dată forma 2x + 5y-z + 4 = 0.
Notă. Orice ecuație a formei (19) (unde cel puțin unul din numerele AVC nu este zero) definește un plan în spațiu și, dimpotrivă, ecuația oricărui plan este o ecuație de gradul întâi.
De notat că ecuația (.) = 0 poate fi aplicat la O ecuație plan în spațiul definit de cele trei puncte M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, Y3, z3), nu mint pe o linie dreaptă. Deci, luând ca vector normal = - produsul vectorial pe. și ca M0 punctul M1. avem
care conduce la ecuația planului sub forma unui determinant:
În special, în cazul în care avionul nu trece prin origine și intersectează axele de coordonate la punctele M1 (a, 0,0), M2 (0, b, 0), M3 (0,0, c), atunci ecuația (20) se reduce la minte
numită ecuația planului "în segmente".
Considerăm acum cazuri speciale ale ecuației generale a avionului.
Dacă D = 0, atunci ecuația Ax + By + Cz = 0 definește un plan care trece prin origine. Alte cazuri speciale sunt determinate de dispunerea vectorului normal = (A, B, C). De exemplu, dacă A = 0, atunci ecuația By + Cz + D = 0 definește un plan paralel cu axa Ox (și care trece prin axa Ox dacă D = 0); Dacă A = B = 0, atunci ecuația Cz + D = 0 definește un plan paralel cu planul Oxy (în particular, z = 0 este ecuația planului Oxy însuși).
Unghiul dihedral dintre două planuri. date de ecuațiile lor generale
unghiul j se află în intervalul de la 0 la p; celălalt unghi dihedral format de două planuri intersectate este p-j.
Exemplul 17. Găsiți unghiul dintre planurile date de ecuațiile 3x-y-2z + 250 = 0 și x -2y + z -111 = 0.
Soluția. Găsiți cosinusul unghiului dintre vectorii normali = (3, -1, -2) și = (1, -2,1):
prin urmare, j = arccos. Celălalt unghi dihedral este de 180 ° -71 ° = 109 °. # 9632;
plane Două date (22) perpendicular dacă și numai dacă valoarea lor vector = (A1, B1, C1) = și (A2, B2, C2) sunt perpendiculare una pe cealaltă, din produsul scalar (.) = 0 sau = 0. De exemplu, 3x avion -y + 2z -31 = 0 și 5x + 3y -6z + 1 = 0 perpendicular din 3 x 5 + (- 1) × 3 + 2 x (-6) = 0. Două date plane sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt coliniari, adică atunci când condiția este îndeplinită.
Exemplul 18. Scrieți ecuația planului care trece prin punctul M0 (1, -1,0) și paralel cu planul 2x + 3y-4z -1 = 0.
Soluția. Deoarece planurile paralele ale aceluiași vector normale = (2,3, -4), atunci ecuația dorită este 2 (x-1) 3 (y + 1) -4 (z- 0) = 0 sau 2x + 3y-4z + 1 = 0. # 9632;
3.3 [altele decât PMT] Linia directă în spațiu.
Linia în spațiu este definită de specificația comună a celor două ecuații F (x, y, z) = 0, F (x, y, z) = 0 ca intersecția celor două suprafețe date de aceste ecuații.
Astfel, o linie în spațiu poate fi dată ca o linie de intersecție a două planuri, adică Ca un set de puncte care satisfac sistemul
Ecuațiile (24) sunt numite ecuațiile canonice ale unei linii în spațiu.
Exemplul 19. Scrieți ecuația unei linii drepte care trece prin punctele M0 (1, -1,3) și M1 (0,3,5).
Soluția. Folosim ecuațiile (24), luând ca vector de direcționare = (0-1,3 - (-1), 5-3) sau = (-1,4,2):
În descrierea teoria mulțimilor, vom adera la așa-numitul punct de vedere intuitiv, potrivit căruia concepte, cum ar fi „set“, „un element“ se referă la conceptele inițiale ale matematicii și, prin urmare, nu poate fi determinată.
Cu conceptul setului ne atinge, mai ales atunci când, din orice motiv, se combină în anumite privințe, în același grup de unele obiecte și apoi ia în considerare acest grup sau pentru a seta ca un întreg.
Seturile sunt de obicei marcate cu majuscule litere latine. Obiectele care formează un set sunt numite elemente ale unui set și, de regulă, literele mici ale alfabetului latin sunt folosite pentru a denumi elemente. Dacă a este un element al setului M, atunci spunem că a aparține mulțimii M și folosim notația a Î M, altfel, dacă a nu face parte din M, vom folosi notația a Ï M.
În aplicațiile finite ale matematicii discrete, cel mai adesea se întâlnesc seturi finite. Sensul intuitiv al acestui termen este clar: astfel de seturi conțin un număr finit de elemente. Numărul de elemente dintr-un set finit A se numește cardinalitatea acestui set și este notat cu simbolul Card A sau | A |. Împreună cu seturile finite din matematică, sunt luate în considerare și seturi infinite, adică cele care conțin infinit de multe elemente. Astfel, de exemplu, setul de numere naturale N, setul de numere raționale Q, setul de numere reale R.