Principiul maxim
Funcția U, armonică în domeniul D. atinge maximul și minimul numai la limita ∂ D. Astfel, o funcție armonică nu poate avea un extremum local la punctul interior. cu excepția cazului trivial al unei constante în D. Cu toate acestea, funcția poate fi nedefinită la limită, deci este mai corect să spunem că ∀ m ∈ D inf Q ∈ D U (Q)
Funcția armonică, definită pe Rn >> și limitată deasupra sau dedesubt, este constantă.
Proprietatea mijlocului
Dacă funcția u este armonică în unele bile B (x 0))> cu centrul în punctul x 0>. atunci valoarea lui la punctul x 0> este egală cu valoarea medie pe marginea acestei mingi sau de-a lungul mingii:
În schimb, orice funcție continuă care are proprietatea medie pentru toate bilele situate într-un anumit domeniu este armonică în această regiune.
diferențiabilității
O funcție armonică într-un domeniu este infinit de diferențiată în ea.
Dacă funcția U (M) = U (x 1. x k). x _)>. armonic în bara k-dimensională Q r> a razei R cu centrul la un punct M 0>. este non-negativă în această minge, atunci pentru valorile sale la punctele M din interiorul bilei luate în considerare sunt valabile următoarele inegalități: Rk - 2 R (r + r) k - 1 U (M 0) ≤ U (M) ≤ R k - r (R - r) k - 1 U (M 0) >>> U (M)> \ leq \ leq >> U (M _) >>. unde r = ρ (M0 M)
Fie v n (z) (z)> funcții armonice pozitive în unele domenii D. Dacă seria Σ 1 ∞ v n (z) ^ v (z)> converge cel puțin la un punct al domeniului D. apoi converge uniform în interiorul D.