Dependența liniară și independența sistemului de vectori.
Fie câmpul scalar și F setul său de bază. Fie un spațiu aritmetic dimensional peste un sistem arbitrar de vectori ai spațiului
Determinare. O combinație liniară a unui sistem de vectori este o sumă a formei în care se află. Scalarii se numesc coeficienții unei combinații liniare. Se consideră că o combinație liniară este netrivială dacă cel puțin unul dintre coeficienții săi este nenul. O combinație liniară este considerată a fi trivială dacă toți coeficienții ei sunt zero.
Determinare. Setul tuturor combinațiilor liniare ale vectorilor sistemului este numit corpul liniar al acestui sistem și este notat cu. Un plic liniar al unui sistem gol este un set format dintr-un vector zero.
Deci, prin definiție,
Este ușor de observat că intervalul liniar al unui sistem de vectori dat este închis în ceea ce privește operațiile de adăugare a vectorilor, scăderea vectorilor și înmulțirea vectorilor prin scalare.
Determinare. Se spune că un sistem de vectori este independent de liniar dacă pentru egalitatea scalarilor rezultă din egalitate. Sistem de vectori gol
este considerată independentă liniar.
Cu alte cuvinte, un sistem finit de vectori este independent de liniar dacă și numai dacă fiecare combinație liniară non-trivială a vectorilor sistemului nu este egală cu vectorul zero.
Determinare. Un sistem de vectori se numește dependență liniară dacă există scalare nu toate egale cu zero, astfel încât
Cu alte cuvinte, se spune că un sistem finit de vectori este dependent de liniar dacă există o combinație liniară non-trivială a vectorilor sistemului care este egală cu vectorul zero.
se numește un sistem de vectori unici ai unui spațiu vectorial. Acest sistem de vectori este linear independent. De fapt, pentru orice egalitate scalară implică egalitate și, prin urmare, egalitate
Să luăm în considerare proprietățile dependenței liniare și independenței unui sistem de vectori.
PROPRIETATE 1.1. Sistemul vectorilor care conțin vectorul zero este dependent de liniaritate.
Dovada. Dacă în sistemul de vectori unul dintre vectori, de exemplu, vectorul este zero, atunci o combinație liniară a vectorilor sistemului, toți coeficienții cărora sunt zero, cu excepția coeficientului y, este egală cu vectorul zero. În consecință, un astfel de sistem de vectori este dependent în mod liniar.
PROPRIETATE 1.2. Un sistem de vectori este dependent în mod liniar dacă oricare dintre subsistemele sale este dependentă liniar.
Dovada. Fie un subsistem liniar dependent de sistem cu cel puțin unul dintre coeficienții diferiți de zero. Apoi, sistemul de vectori este în mod liniar dependent.
Corolar. Orice subsistem al unui sistem liniar independent este linear independent.
PROPRIETATE 1.3. Sistem de vectori
în care este dependentă liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectori este o combinație liniară a vectorilor precedenți.
Dovada. Fie sistemul (1) dependent de liniar și apoi există scalare nu toate egale cu zero, astfel încât
Indicăm prin k cel mai mare dintre numerele care satisface condiția Apoi ecuația (2) poate fi scrisă în formular
Rețineți că, de altfel, din moment ce. Rezultă din (3) că
Să presupunem acum că vectorul este o combinație liniară a vectorilor precedenți, adică, Apoi, subsistemul sistemului (1) este dependent de liniaritate. În consecință, prin proprietatea 1.2, sistemul original (1) este dependent de liniar.
PROPRIETATE 1.4. Dacă sistemul de vectori este liniar independent și sistemul de vectori
liniar dependent, atunci vectorul v este exprimat liniar în termeni de vectori
și mai mult într-un mod unic.
Dovada. Prin ipoteză, sistemul (2) este dependent de liniar, adică există scalare care nu sunt egale cu zero, astfel încât
În acest caz, deoarece este în contradicție cu independența liniară a sistemului (1). Rezultă din (3) că
Deoarece sistemul (1) este independent de liniar, rezultă că
PROPRIETATE 1.5. Dacă u
Dovada. Condiția înseamnă că există astfel de scalare
Condiția înseamnă că există astfel de scalare
În virtutea (1) și (2), obținem
TEOREM 1.2. În cazul în care
atunci sistemul de vectori este dependent de liniaritate. Dovada (prin inducție).
Presupunem că vectorii sunt nenuloni, deoarece altfel teorema este evidentă. Să presupunem că atunci sistemul de vectori este liniar dependent.
Să presupunem că teorema este adevărată pentru u și dovedește că atunci este adevărat. Să presupunem că este,
Dacă toți coeficienții din partea dreaptă a egalității (2) sunt zero, atunci, prin ipoteza inductivă, sistemul de vectori este liniar dependent și, prin urmare, sistemul este liniar dependent. Dacă, totuși, cel puțin unul dintre coeficienți, de exemplu, este diferit de zero, atunci eliminăm vectorul din primele egalități. Ca rezultat, ajungem
Prin ipoteza inductivă rezultă din (3) că sistemul vectorilor este dependent de liniaritate. În consecință, există scalare nu toate egale cu zero, astfel încât
unde În consecință, sistemul de vectori este dependent de liniaritate.
Corolarul 1.3. Dacă, atunci sistemul de vectori este dependent de liniar.
Corolar 1.4. Dacă sunt și sistemul vectorilor este independent de liniar, atunci.
Corolar 1.5. Într-un spațiu vectorial aritmetic, orice vector vector format din mai mulți vectori este dependent de liniar.
Corolarul 1.5 rezultă din Teorema 1.2, deoarece orice vector -dimensional este o combinație liniară de vectori de unitate