Exemplul 1. Metrica pe linie (M = R) este următoarea funcție: ρ (x, Y) = | 2 x - 2 y | ?
Deoarece ρ (x, y) este definit în termenii unui modul,
Să verificăm axiomele metricei.
1) Se arată că din faptul că ρ (x, Y) = 0 rezultă că x = y. Fie ρ (x, y) = 0. Atunci
| | 2 x - 2 y | = 0 2 x - 2 y = 0 2 x = 2 y x = y.
Și înapoi, vom arăta că dacă x = y. atunci ρ (x, y) = 0:
x = y. Apoi, ρ (x, y) = ρ (x, x) = | 2 x - 2 x | = 0.
Axiomul identității este îndeplinit.
2) ρ (x, Y) = 2 x - 2 y | = | 2 y - 2 x | ρ (x, y) = ρ (y, x).
Axiomul de simetrie este îndeplinit.
3) Să verificăm îndeplinirea axiomei triunghiului. Fie z orice număr. Atunci, ρ (x, Y) = | 2 x - 2 y | = | 2 x - 2 z + 2 z - 2 y | ≤ | 2 x - 2 z |
+ | | 2 z - 2 y | = ρ (x, z) + ρ (z.y).
Răspunsul este: ρ (x. Y) = | 2 x - 2 y | - Metrica. ▲
Exemplul 2. Fie M = R și p (x, Y) = | x 4 - y 4 |. Este ρ (x. Y) o metrică?
Să verificăm îndeplinirea axiomei 1.
Fie ρ (x, Y) = 0. Aceasta este, | | x 4 - y 4 | = 0 x 4 - y 4 = 0 x 4 = y 4. Dar această egalitate nu implică faptul că x = y. Într-adevăr, dacă x = 1, y = -1, atunci x 4 = 1 4 = 1, y 4 = (- 1) 4 = 1 x 4 = y 4. dar x ≠ y. prin urmare
Prin urmare, axiomul 1 nu se păstrează și ρ (x, y) = | x 4 - y 4 | nu este o metrică.
Răspunsul este: ρ (x. Y) = | x 4 - y 4 | nu este o metrică. ▲
Exemplul 3. Fie M = R și
Elementele unui spațiu liniar V sunt numite vectori. Adesea, un spațiu liniar V este numit spațiu vectorial.
Un sistem liniar independent de vectori
k = 1, n. dacă combinația lor liniară devine 0 numai dacă
λ 1 f 1 + λ 2 f 2 + ... + λ n f n = 0 λ 1 = λ 2 = ... = λ n = 0.
În caz contrar, sistemul se numește dependență liniară.
Baza unui spațiu liniar V de dimensiune dim V = n este orice set de n vectori liniar independenți.
Coordonatele vectorului g în bază
coordonatele λ k. k = 1, n a extinderii vectorului g în termeni de bază
1. Este spațiul liniar: a) setul gol; b) un set constând dintr-un element zero.
2. Există un spațiu liniar format numai din două elemente?
3. Sunt spațiile liniare peste câmpul R al setului: a) numere raționale; b) numere iraționale?
4. Este setul de matrici pătrate de ordine n un spațiu liniar?
5. Determinați dacă seturile de vectori date într-un spațiu vectorial n dimensional V sunt subspații liniare și dacă sunt, atunci găsiți dimensiunea lor:
a) set de vectori, toate coordonatele cărora sunt egale una cu cealaltă;
b) setul de vectori a căror primă coordonată este 0; c) setul de vectori a căror sumă de coordonate este egală cu 0; d) setul de vectori ai planului paralel unul cu altul.
6. Gasiti dimensiunea si baza liniilor liniare ale unui sistem dat de coloane: