Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

2. Afirmația problemei

6. Construirea unei soluții generale prin metoda matricei

7. Problema Cauchy pentru metoda matricei

Să considerăm un sistem de ecuații liniare de ordinul întâi, scrise în formă normală:

unde coeficienții aij. i = 1,2, .... n, k = 1,2, ..., n, sunt valori constante;

yi = yi (t), i = 1,2, ..., n sunt funcții necunoscute ale variabilei t.

Dacă setăm bi (t) (i = 1,2, ..., n) egal cu zero (bi (t) = 0), atunci obținem un sistem omogen corespunzător sistemului neomogen (1).

Denumind matricea sistemului cu A (x) și vectorul

Apoi, sistemul (1) poate fi rescris în formă de matrice

, atunci obținem sistemul corespunzător de ecuații omogene

Fiecare colecție de funcții n

definit și continuabil diferențiat în intervalul (a; b), se numește o soluție a sistemului (1) în acest interval dacă inversează toate ecuațiile sistemului (1) în identități:

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

sunt valabile pentru toate valorile lui x în intervalul (a, b). Soluția generală a sistemului neomogen este suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător, iar soluția particulară este neomogenă.

2. Afirmația problemei

Obiectiv: să studiem metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă:

;

;

1. Găsiți valorile proprii și construiți un sistem fundamental de soluții (FSS).

2. Construiți o matrice fundamentală prin metoda Euler.

3. Găsiți soluția aproximativă sub forma unei serii de matrice.

4. Construiți o soluție generală prin metoda matricei. Pentru a investiga dependența formei Iordaniei a matricei A de valorile proprii.

5. Rezolva problema Cauchy.

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

Vectorul condițiilor inițiale: [1, 2, 3, 4]

Un sistem liniar omogen de ecuații diferențiale este un sistem de ecuații de formă:

Dacă este în matricea sistemului

= const, atunci acest sistem se numește un sistem cu coeficienți constanți sau cu o matrice constantă.

Sistemul fundamental al soluțiilor unui sistem liniar omogen de ecuații este baza spațiului liniar al soluțiilor a, adică n soluții lineare independente ale acestui sistem.

Pentru a construi un sistem fundamental de soluții de ecuații diferențiale necesare pentru a găsi valorile proprii ale polinomului caracteristic, deoarece, în funcție de tipul lor (numerele caracteristice pot fi foarte diferite, multiple, complex) a construit un sistem fundamental de soluții.

Pentru ca acest sistem de n ecuații omogene lineare cu n necunoscute să aibă o soluție netrivială, este necesar și suficient ca determinantul sistemului (Wronskian) să fie egal cu zero:

Din această ecuație a gradului n, valoarea k este determinată, pentru care sistemul are soluții netriviale. Ecuația (4) se numește caracteristică.

Se scrie un polinom caracteristic, pentru aceasta folosim funcția CHARPOLY

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

Pentru a gasi valorile proprii, folosim functia SOLVE (U, l), care returneaza numerele caracteristice ale matricei A vectorului l. Avem:

S-au dovedit două rădăcini

și două rădăcini complexe conjugate

. În consecință, vectorii care formează matricea fundamentală pentru acest tip de rădăcini vor fi separați pentru

. Să scriem FSS pentru datele pentru numerele caracteristice obținute:

Matricea y (x), ale cărei coloane reprezintă soluțiile care formează sistemul fundamental, se numește matrice fundamentală.

Iar soluția generală a sistemului va arăta astfel:

Să găsim soluția acestui sistem folosind metoda Euler.

Metoda Euler este după cum urmează.

Soluția sistemului (1) este în forma:

Funcția (5) este o soluție a sistemului (1) dacă

Este valoarea proprie a matricei A și a este vectorul propriu al acestei matrici care corespunde numărului

. Dacă valorile proprii

matricile A sunt pereche distincte și a1. a2. ..., a sunt vectorii proprii corespunzători ai acestei matrici, atunci soluția generală a sistemului de ecuații (1) este definită de formula:

În cazul rădăcinilor multiple, soluția sistemului ia forma

unde Pi (x) sunt polinoame de grad nu mai mare de (k-1) avand in totalitate coeficienti arbitrari. Deci, printre coeficienții acestor polinomi, coeficienții sunt arbitrari, iar restul k · n-k sunt exprimați prin ei. Pentru a găsi coeficienții polinomilor, înlocuim soluția (6) în sistemul inițial de ecuații, echivalând coeficienții pentru aceleași funcții. Rezolvăm sistemul cu privire la coeficienții (k · n-k). Obținem expresia tuturor coeficienților în termeni de coeficienți liberi.

Dacă este pentru o valoare mai mare de eigen

matricea A există cât mai multe vectori proprii liniar independenți

, care este multiplicitatea sa, atunci ea corespunde soluțiilor independente k ale sistemului original:

Dacă este pentru o valoare proprie

de multiplicitate k există numai m (m

, poate fi căutat sub forma unui produs al unui polinom vector cu gradul k - m

Pentru a găsi vectori

, Este necesară înlocuirea expresiei (4) în sistem (3). Ecuând coeficienții acestor termeni în părțile stângi și drepte ale sistemului, obținem o ecuație pentru găsirea vectorilor

.

Au fost găsite următoarele valori proprii pentru această sarcină:

.

Am construit un sistem fundamental de soluții:

Gasim un rand al matricei fundamentale de solutii pentru numarul caracteristic

. Scriem a treia linie de soluții într-o formă generală:

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

În cazul în care aij se găsește prin expresia:


Exponentul e A al matricei A este suma seriei

unde E este matricea identității.

Proprietatea exponentului matricei:

a) dacă AB = BA, atunci e A + B = e A * e B = e B * e A;

b) atunci când A = S - 1 * B * S, adică, A = S -1 * e * B S, unde matricea S - este o matrice de transformare a bazei variabilelor eigenbasis în variabilele originale.

c) matricea y (t) = e At este o soluție a matricei Problema Cauchy:

și anume este matricea fundamentală a sistemului (1).

Din proprietatea c) rezultă că soluția y (t) a sistemului (1) satisface condiția y (0) = y0. este determinată de expresia y (t) = e At * y0. Astfel, problema găsirii soluțiilor sistemului de ecuații (1) este echivalentă cu problema găsirii matricei eAt de matricea A.

Pentru a calcula matricea e At, este convenabil să reprezentăm matricea A sub forma:

,

unde matricea S este matricea transformării variabilelor de la eigenbasis la baza variabilelor inițiale, iar BA este forma Jordan a matricei A, deoarece e At = S -1 * e Bt * S.

Forma Iordaniei a matricei depinde de tipul de numere caracteristice.

1. Să presupunem că numerele caracteristice sunt multiple multiple, atunci forma Jordan a matricei dimensiunii nxn are forma:

- adevărata rădăcină a multiplicității n.

2. Dacă printre rădăcinile unui polinom caracteristic există ambele rădăcini reale diferite și reale, atunci matricea B are forma:

- adevărate rădăcini diferite și

- adevărata rădăcină a multiplicității 2.

3. Dacă există printre rădăcinile polinomului caracteristic al rădăcinilor complexului conjugat Iordania, celula arată astfel:

complexă rădăcină conjugată a polinomului caracteristic.

Deoarece în cazul nostru printre numerele caracteristice sunt prezente rădăcinile complexe conjugate n = 2 - # 59329; ∨ l = 2 + # 59329; și rădăcinile reale diferite n = -1 ∨ n = 1, atunci matricea Jordan arată astfel:

Din ecuația S = A * S * V, unde S - matrice non-singular, obținem un sistem de ordinul 16, din care găsim elementele matricei S. Matricea rezultată S este după cum urmează:

Rezolvăm sistemul ordinii 16 din ecuația A * S = S * B

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

Definim unele elemente și obținem următoarea matrice S:

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

Deci, matricea de tranziție se găsește corect.

Pentru a găsi vectorul de soluție y, multiplicați matricea S cu

- este un vector ale cărui elemente depind de rădăcinile polinomului caracteristic:

Pentru numere complexe

are următoarea formă:

În cazul rădăcinilor reale diferite:

=

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

De aici găsim soluția generală y = S *

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

Atunci când soluția este înlocuită în sistemul inițial, se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția se dovedește a fi corectă:

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

7. Problema Cauchy pentru metoda matricei

Este necesar din toate soluțiile sistemului de ecuații să găsească o soluție în care y (i) (t) ia o valoare numerică dată y0i la un anumit punct, adică găsiți valorile lui ci pentru următoarele valori date: x = 0, y = [1, 2, 3,4].

În vectorul de soluție y (t) înlocuim condițiile date și soluționăm sistemul obținut în raport cu c1, c2, c3, c4:

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

Ca rezultat, obținem:

Substituind c1, c2, c3, c4 în soluția generală, obținem o soluție în forma Cauchy:

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

:

Investigarea metodelor de rezolvare a unui sistem de ecuații diferențiale cu o matrice constantă

Vectorul zero rezultat

. În consecință, matricea găsită este o soluție a sistemului original.

Fie J blocul Jordan al matricei A. Pentru cazul rădăcinilor reale diferite, blocul Jordan va arăta astfel:

Să presupunem că între valorile proprii reale ale matricei A sunt multiple. Celula Iordan va fi în conformitate cu următoarea formulă:

De exemplu, dacă multiplicitatea este k = 2, atunci putem scrie celula matricei Jordan după cum urmează:

Dacă multiplicitatea este k = 3, atunci putem scrie celula matricei Jordan după cum urmează:

Dacă între cele trei valori proprii

sunt rădăcini de multiplicitate 2, atunci formularul Jordan va arăta astfel:

Dacă două valori proprii ale matricei A sunt conjugate complexe, atunci intrarea celulei Iordan va arăta astfel:

Este partea imaginară a eigenvaluei

.

Soluția generală a sistemului neomogen poate fi găsită prin formula:

Articole similare