Subgrupul normal

defini

subgrupă $N$ Grupuri $G$ se spune că este normal. dacă este invariabil în conjugări, adică pentru orice element $n$ de la $N$ și orice $g$ de la $G$ element $g\; n\; g\; ^$ se află în $N$:

$N\; \backslash \; triangleleft\; G,\; \backslash \; iff\; \backslash ,\; \backslash \; forall\; \backslash ,\; n\; \backslash \; înN,\; \backslash \; forall\; \backslash \; g\; \backslash \; în\; G$ $gng\; ^\; \backslash \; in$

Următoarele condiții pentru normalitatea unui subgrup sunt echivalente:

1. Pentru oricine $g$ de la $G$ $gNg\; ^\; \backslash \; sube\; N$.
2. Pentru oricine $g$ de la $G$ $gNg\; ^\; =\; N$.
3. Seturi de cosets stânga și dreapta $N$ în $G$ coincid.
4. Pentru oricine $g$ de la $G$ $gN\; =\; Ng$.
5. $N$ este izomorf pentru unirea claselor de conjugare.

Condiția (1) este logic mai slabă decât (2), iar condiția (3) este logic mai slabă decât (4). De aceea, conditiile (1) si (3) sunt adesea folosite pentru a dovedi normalitatea unei subgrupuri, iar conditiile (2) si (4) sunt folosite pentru a dovedi corodele normale.

• și $G$ - subgrupe întotdeauna normale $G$. Ele sunt numite triviale. Dacă nu există alte subgrupe normale, atunci grupul $G$ este numit simplu.

• Centrul grupului este un subgrup normal.

• Comutantul grupului este un subgrup normal.

• Orice subgrup caracteristic este normal, deoarece conjugarea este întotdeauna un automorfism.

• Toate subgrupele $N$ Grupul Abelian $G$ sunt normale, deoarece $g\; N\; =\; N\; g$. Un grup non-abelian pentru care fiecare subgrup este normal este considerat a fi Hamiltonian.

• Grupul de traduceri paralele într-un spațiu de orice dimensiune este un subgrup normal al grupului euclidian; de exemplu, într-un spațiu tridimensional, întoarcerea, deplasarea și răsucirea în direcția opusă conduc la o schimbare simplă.

• În grupul cubului lui Rubik, subgrupul constând din operațiuni care acționează numai pe elementele colțului este normal, deoarece nici o transformare conjugată nu va forța o astfel de operație să acționeze mai degrabă pe muchie decât pe elementul de colț. Dimpotrivă, subgrupul care constă numai în răsuciri ale feței superioare nu este normal, deoarece conjugările vă permit să mutați părțile feței superioare în jos.

• Normalitatea este păstrată sub homomorfisme surjective și luând imagini inverse.
• Kernelul homomorfismului este un subgrup normal.
• Normanța este păstrată atunci când se construiește un produs direct.
• Un subgrup normal al unui subgrup normal nu trebuie să fie normal într-un grup, adică normalitatea nu este tranzitivă. Cu toate acestea, subgrupul caracteristic al unui subgrup normal este normal.
• Fiecare subgrup al indexului 2 este normal. În cazul în care $p$ Este cel mai mic divizor al ordinii $G$, apoi orice subgrup de index $p$ este normal.
• În cazul în care $N$ Este subgrupul normal al $G$, apoi pe setul de coste stânga (dreapta) $G\; /\; N$ puteți introduce o structură de grup prin regula

• $N$ este normal dacă și numai dacă acționează trivial pe stânga cosets $G\; /\; N$.

Istoric faptic

Evariste Galois a fost primul care a înțeles importanța subgrupurilor normale.

Scrie o recenzie pentru "Normal Subgroup"

Un fragment care caracterizează subgrupul normal

Înainte de a ajunge împărat, Rostov, un călăreț mare, a condus de două ori pinteni de beduini și l-au adus în fața fericit trap de mers nebun cu care hazhival încălzit beduin. Spumant fata aplecat spre piept, separând coada, ca și în cazul în care zboară în aer și nu ating solul, cu grație și a aruncat în picioare înalte și alternative, beduini, de asemenea, a simțit ochii suveranului, a fost excelent.
Rostov însuși, flopând picioarele înapoi și ridicându-și stomacul și simțindu-se o bucată cu un cal, cu o față încruntată, dar feroce, diavol. după cum a spus Denisov, a trecut prin împărat.
"Bine facut, cetateni Pavlodar!" A spus împăratul.
"Dumnezeule! Cât de fericit aș fi dacă mi-ar spune acum să mă arunc în foc ", a crezut Rostov.
Când parada a fost de peste, ofițerii, nou-veniți și Kutuzov au început să conveargă în grupuri și au început să vorbească despre premii, despre austriecii și uniformele lor, pe fața lor, despre Bonaparte, și modul în care este rău va avea acum, mai ales atunci când costumul are corpul Essen, și Prusia ne va lua partea noastră.
Dar mai ales în toate cercurile pe care le-a vorbit despre suveranul Alexandru, ei au transmis fiecare cuvânt și mișcare și l-au admirat.
Toată lumea dorea un singur lucru: sub conducerea suveranului, era mult mai probabil să se împotrivească dușmanului. Sub conducerea suveranului însuși, era imposibil să nu învingem pe nimeni, așa că au crezut majoritatea ofițerilor după spectacol.
Toți după revizuire au fost încrezători în victorie mai mult decât ceea ce ar putea fi după două bătălii câștigate.

A doua zi după spectacol, Boris, îmbrăcat în cele mai bune uniforme și naputstvuemy dorințele de succes de la camaradul Berg sa dus la Olmutz la Bolkonsky, dorind să profite de bunătatea lui, și să dea el însuși cea mai bună poziție, în special poziția adjutant, cu o față importantă, care părea să-l deosebit de atractiv în armată . „Bun Rostov, al cărui tată a trimite 10 mii cinci, pentru a vorbi despre modul în care el nu vrea să se încline în fața nimănui, și nimeni nu va merge la chelneri; dar eu, care nu au nimic altceva decât capul meu, trebuie să facă o carieră și să nu rateze evenimentele, ci să le folosească ".
În Olmyuts nu la găsit pe prințul Andrey în acea zi. Dar viziunea lui Olmyuts, în care apartamentul principal, corpul diplomatic și cei doi împărați trăiau cu anturajul lor - curteni, împuterniciți, și-au întărit dorința de a aparține acestei lumi supreme.
El nu știa pe nimeni, și în ciuda Gărzile puturos uniforma ei, toți acești oameni superiori, scurrying pe străzi în trăsuri elegante lor, pene, panglici si decoratiuni, curteni și armata părea să stea până în prezent deasupra lui Gărzile puțin ofițer nu a făcut- doar nu a vrut, dar nu și-a putut recunoaște existența. În interior Kutuzov comandant suprem, unde a cerut Bolkonsky, toate aceste aghiotanții și chiar infirmierii se uită la el ca și cum ar vrea să convingă că ca el, o mulțime de ofițeri aici agățat în jurul și toate sunt deja foarte obosit. În ciuda acestui fapt, sau mai degrabă din cauza acestui fapt, a doua zi, a 15-a zi, după cină, el a mers din nou la Olmutz și, intrând în casa ocupată de Kutuzov, a întrebat Bolkonsky. Prințul Andrew era acasă, și Boris petrecut în sala mare, care, probabil, a dansat înainte, dar acum erau cinci paturi, mobilier divers: masă, scaune și un clavecin. Un adjutant, mai aproape de ușă, într-o rochie persană, stătea la masă și scria. Altele, roșu, gros Nesvitski, culcat pe un pat cu mâinile în spatele capului său, și a râs cu el chircit ofițer. Al treilea joc pe clavecin Valsul vienez, un sfert culcat pe aceste clavecin și a cântat împreună cu el. Bolkonsky nu era acolo. Nici unul dintre acești domni, observând Boris, nu și-a schimbat poziția. Cei care au scris și care sa transformat Boris întoarse furios în jurul și i-au spus că prințul Andrew la datorie, și că el a fost lăsat în ușă la recepție, dacă el trebuia să-l vadă. Boris ia mulțumit și a intrat în sala de așteptare. În sala de așteptare erau zece ofițeri și generali.

Articole similare

• Subgrupuri normale

• Quechua - haine și încălțăminte normale de zbor - ht - comunitate de turiști și bicicliști

• Cum să înveți să conduci o mașină