12. COORDONATELE GENERALIZATE, FORȚELE GENERALIZATE
Pentru introducerea conceptului, ia în considerare coordonatele generalizate pendulul matematic dublu plat format din doua tijă fără greutate lungime și l1 l2 din mase punctiforme și m2 m1 la capete (Fig. 12.1). Sistemul are două grade de libertate.
Într-adevăr, miezul OM1 se poate roti pe o axă orizontală fixă O perpendiculară pe planul de mișcare xOy. și tija M1M2 - în jurul axei orizontale care trece prin punctul M1. în același plan. Prin urmare, ecuațiile de constrângere au forma: z1 = 0, z2 = 0,
De aceea, deoarece n = 2, iar numărul ecuațiilor de constrângere este k = 4, atunci S = 3n -k = 2; Numai două din cele șase coordonate carteziene sunt independente și trebuie date. Coordonatele rămase pot fi exprimate din ecuațiile de constrângere prin coordonate independente.
În practică, coordonatele x1. y1z1, x2. v2. z2 este exprimată în termenii unor variabile independente de natură diferită, în cazul nostru sunt unghiurile și deviațiile barelor de la verticală:
Aici unghiurile și joacă rolul de parametri independenți care determină în mod unic poziția sistemului mecanic luat în considerare.
Acum, să existe un sistem de n puncte materiale pe care constrângerile holonomice k date date de ecuațiile (10.2) sunt suprapuse. Deoarece numărul de grade de libertate este S, introducem variabilele independente q1. q2. QS. Apoi pentru sistemul în cauză relațiile (12.1) au forma:
Rețineți că coordonatele independente qm (m = 1, 2, ..., s) nu reprezintă neapărat o colecție de variabile S din numărul de coordonate carteziane xn, yn, zn. Ele pot fi variabile de altă natură, deci în exemplul de mai sus, coordonatele unghiulare sunt introduse în loc de coordonatele carteziene.
S parametrii independenți q1. q2. qs determinarea unică a poziției punctelor din sistemul material, compatibile cu constrângerile, se numesc coordonate generalizate.
Derivații de coordonate generalizate în funcție de timp se numesc viteze generalizate (= dqm / dt).
Dimensiunea vitezei generalizate depinde de dimensiunea coordonatelor generalizate: dacă qm este o cantitate liniară, atunci - viteza liniară; dacă qm este unghiul, atunci - viteza unghiulară; dacă qm este zona, atunci - viteza sectorului. În consecință, conceptul de viteză generalizată cuprinde toate noțiunile de viteze cunoscute.
Pentru a introduce conceptul de forțe generalizate, considerăm un sistem holonomic format din n puncte materiale pe care acționează forțele, respectiv. . Fie ca sistemul să aibă grade S de libertate și poziția sa este determinată de coordonatele generalizate q1. q2. QS. Informăm sistemul într-un moment fix de timp, cum ar fi o deplasare virtuală, în care coordonata generalizată qm obține incrementul dqm> 0, iar coordonatele generalizate rămase nu se schimbă. Apoi, fiecare vector de rază va primi o deplasare virtuală () m. care se calculează ca o diferență parțială:
Conform (10.9), munca virtuală a tuturor forțelor active cu variația dqm a coordonatei generalizate qm poate fi scrisă sub forma:
Valoarea se numește forța generalizată. corespunzătoare coordonatei generalizate qm. Dacă la toate coordonatele generalizate S la o anumită clipă de timp informează incrementările pozitive (variațiile) dq1, dq2 ,. DQS. apoi munca virtuală completă a tuturor forțelor active în coordonate generalizate
Rezultă din (12.5) că forțele generalizate sunt coeficienții pentru variațiile coordonatelor generalizate în expresia pentru munca virtuală. Se proiectează (11.4) pe axe carteziene
Dacă toate forțele de acțiune sunt potențiale, atunci proiecțiile lor Fnx, Fny, Fnz pe axele carteziene pot fi exprimate în termeni de energie potențială Π a sistemului conform formulelor:
Înlocuind (12.7) în (12.6), obținem:
Pentru un sistem mecanic într-un câmp potențial de forță, forța generalizată este determinată de derivatul parțial al energiei potențiale luate cu semnul opus de coordonata generalizată corespunzătoare:
Rețineți că dimensiunea forței generalizate este egală cu dimensiunea lucrării împărțită la dimensiunea coordonatei generalizate.
Exemplul 12.1. Determinați puterea generalizată a unui pendul matematic în funcție de greutate. dacă lungimea firului este l. Pentru coordonata generalizată, luați unghiul de abatere j al pendulului de la verticală (Figura 12.2).
Fig. 12.2 Fig. 12.3
Soluția. Un pendul matematic este un sistem cu un grad de libertate (S = 1), deoarece este suficient să se specifice un parametru pentru a se determina poziția sa.
Luați în considerare un pendul într-o poziție arbitrară. Pentru coordonata generalizată q luăm unghiul j. Forța activă care acționează asupra pendulului este forța gravitației.
Metoda 1. Deoarece forța este potențială, folosim formula (12.8) pentru a determina forța generalizată Q. Pentru a calcula energia potențială P a pendulului, direcționăm axa x pe verticală în jos, luând punctul O al suspensiei pendulului drept originea citirii potențiale a energiei; P (x = 0) = 0. Energia potențială a unui pendul este egală cu lucrarea de gravitație a deplasării unui punct material dintr-o poziție dată M la zero, adică P = -P × x1 = -P × l × cosj. Conform (12.8)
Metoda 2. Cea mai obișnuită metodă de calcul al forței generalizate este determinarea ei prin formula (11.4) Qm = dAm / dqm. Să informăm pendulul la un anumit moment de timp deplasarea virtuală dj> 0, adică în direcția creșterii unghiului j (Figura 12.3) și calculați lucrarea elementară de gravitație pe această deplasare:
unde h = l × sinj este brațul forței în raport cu centrul de rotație al punctului O. În consecință,