Egalitatea este folosită foarte des în matematică, iar semnificația dată acestui semn nu este întotdeauna aceeași. Deci, adesea conectăm două numere la semnul egalității, de exemplu:
1370 = 3 2 · 5 · 31 (1);
Fiecare astfel de înregistrare reprezintă o anumită declarație, care poate fi adevărată sau falsă. Printre cele patru afirmații de mai sus, a doua, a treia și a patra sunt adevărate, iar prima este falsă.
Pentru a verifica adevărul (sau falsitatea) unor astfel de declarații, este adesea necesar să se efectueze anumite acțiuni, cum ar fi adăugarea de fracții, factoring, construcția sumei a două numere în pătrat, etc. Cu toate acestea, semnificația semnului egal în toate aceste cazuri, unul și .. același lucru: adevărul unei astfel de afirmații înseamnă că la stânga și la dreapta semnului egal se află același număr (numai, poate, scris diferit).
Declarațiile de acest fel vor fi numite egalități numerice. Dacă o egalitate numerică este o afirmație adevărată, atunci pentru concizie ei spun: "aceasta este o adevărată egalitate". Astfel, egalitatea (2) este corectă. Dacă o anumită egalitate numerică este o afirmație falsă, atunci pentru coincidență ei spun: "aceasta este o egalitate incorectă". Astfel, (1) este o egalitate falsă.
Într-un alt sens, simbolul = este folosit atunci când vorbim despre egalitatea funcțiilor. Reamintim că două funcții f (x) și g (x) sunt considerate egale (adică, coincid) dacă, în primul rând, domeniile de definire a acestor două funcții coincid și, în al doilea rând, pentru orice număr x0. aparținând domeniului comun al definiției acestor funcții, valorile funcțiilor de la punctul x0 coincid, adică egalitatea numerică f (x0) = g (x0) este adevărată. Egalitatea funcțiilor (x) și g (x) este de obicei exprimată prin scrierea f (x) = g (x).
De exemplu, scriem (x2 + 1) 6 = x3 + 3x4 +. Zx 2 + 1, exprimând înregistra faptul că stânga și dreapta semnului egal sunt funcții egale (adică. E. Pe stânga și pe dreapta este aceeași funcție, dar pot fi înregistrate în moduri diferite).
Într-o înregistrare care exprimă egalitatea (adică coincidența) a două funcții, semnul, numit semnul egal, este adesea folosit în locul semnului.
Notatia f (x) g (x) inseamna coincidenta functiilor f (x) si g (x). Notatia pentru egalitatea a doua functii (adica relatia f (x) = g
Subliniem încă o dată că atunci când spunem că f (x) = g (x) este identitatea, atunci înseamnă că domeniul funcției f (x) și g (x) sunt aceleași și în același timp, pentru orice x0. aparținând acestui domeniu de definiție, egalitatea numerică f (x0) = g (x0) este valabilă.
Exemple de identități sunt:
(x + 1) 2 = x 2 + 2 x 1,
sin 2 x = 1 - cos 2 x.
Uneori, când privim identitățile, este necesar să limităm domeniul de definire a funcțiilor. Și anume, spunem că ecuația f (x) = g (x) este o identitate a setului M, în cazul în care, în primul rând, o multitudine de M este conținută în domeniul fiecăreia dintre funcțiile f (x), g (x), VO al doilea, pentru orice număr x0. aparținând setului M, valid numeric ecuația f (x0) = g (x0) În acest caz, scrie:
Exemplul 1. Egalitatea este o identitate pe setul de numere non-negative, adică x pentru x 0.
Rețineți că ambele funcții y = și y = x sunt definite pe setul tuturor numerelor reale, dar valorile lor coincid numai cu setul de numere nonnegative. Pe setul tuturor numerelor reale relația nu este o identitate.
Exemplul 2. Considerăm egalitatea arcsin (sinx) =. Ambele funcții (pe partea stângă și cea dreaptă a ecuației) sunt definite pe setul tuturor numerelor reale. Cu toate acestea, egalitatea scrisă doar este o identitate numai pe [0,], adică arcsin (sin x) = pentru 0 x. Desigur, atunci când scriem identități, nu este necesar să se denumească argumentul funcțiilor prin litera x. Puteți specifica un argument cu litera z, cu litera a sau cu orice alt simbol.
(z + 7) 2 = z 2 - 14z + 49,
(a - 1) (a 2 + a + 1) = a 3 - 1
sunt identici pe mulțimea tuturor numerelor reale (sau chiar pe mulțimea tuturor numerelor complexe). De asemenea, puteți lua în considerare funcții care depind de două sau mai multe argumente și puteți scrie identități pentru astfel de funcții. Desigur, în acest caz este de asemenea necesar să se indice pentru care valori ale argumentelor egalitatea scrisă este o identitate.
De exemplu, logoul de egalitate 2 a b = b log2 a este o identitate pentru un> 0 și orice real b; egalitate
este o identitate pentru x + k, y + n, x + y + m, unde k, n m sunt orice numere întregi și așa mai departe.
Am luat în considerare două cazuri de utilizare a = sign in algebra: pentru înregistrarea ecuații numerice și înregistrarea identităților (în acest ultim caz, este uneori înlocuit cu un semn într-un cu totul alt sens al = semnul este utilizat atunci când se analizează ecuația ecuații cu una x necunoscute în cazul general pot fi scrise ca ..
unde f (x) și g (x) sunt funcții arbitrare. Astfel, în aparență, ecuația pare identică cu identitatea: două funcții legate printr-un semn egal. Dar când spunem că relația (5) este o ecuație, aceasta arată atitudinea noastră față de această egalitate. Adică, atunci când spunem că (5) este o ecuație, aceasta înseamnă că ecuația (5) este tratat ca o pedeapsă nedeterminată (pentru anumite valori ale lui x este adevărat, în alte-false), și suntem interesați în găsirea rădăcinile acestei ecuații, t. E , astfel de valori ale lui x, atunci când este substituită, această afirmație indefinită devine adevărată. În mod mai detaliat, rădăcina (sau soluția) ecuației este orice număr, atunci când o substituie, în loc de necunoscut în ambele părți ale ecuației, se obține o egalitate numerică valabilă (corectă). Dar ce înseamnă "avem o egalitate numerică echitabilă"? Acest lucru înseamnă, în primul rând, că substituția numerelor în loc de necunoscut toate acțiunile prezentate în partea stângă și dreaptă ale ecuației, sunt fezabile și, pe de altă parte, ca urmare a acestor acțiuni în stânga și dreapta obține același număr. Cu alte cuvinte, numărul a este o rădăcină a ecuației (5), în cazul în care, în primul rând, acest număr aparține ca un domeniu al funcției f (x), iar domeniul funcției g (x) și, pe de altă parte, valorile acestor funcții în punctul dar coincid, adică,
f (a) = g
Deci, dacă se spune că ecuația (5) este tratată ca o ecuație, înseamnă că suntem interesați în găsirea rădăcinile acestei ecuații, t. E. Valorile care atrag raportul (5) în egalitatea numerică corectă.
Exemplul 3. Pentru o ecuație (x - 1) 2 = x 2 - 2x + 1, orice număr real b este o rădăcină, deoarece egalitatea (b - 1) 2 = b 2 - 2b + 1 este valabilă pentru orice număr real b.
Exemplul 4. Dacă luăm în considerare ecuația | x | = x pe setul tuturor numerelor reale, atunci fiecare număr nonnegativ este rădăcina acestei ecuații (nu există alte rădăcini).
Exemplul 5 Ecuația LGX = 1g (- x) nu are nici o soluție, deoarece partea stângă a acestei ecuații este definită pentru valori pozitive ale lui x și dreapta - pentru negativ, adică domeniul de la stânga și la dreapta părți nu au puncte comune ...
Exemplul 6. Ecuația cosx = 2 nu are soluții pe setul de numere reale, deoarece | cosx0 | 1 pentru orice număr real x0.
Exemplul 7. Ecuația x 2 = -1 nu are soluții la numerele reale cu mai multe valori și are două soluții, x = i și x = -i. pe setul de numere complexe.
Dacă se găsește un set de valori ale lui x, fiecare dintre ele fiind rădăcina ecuației f (x) = g (x), atunci aceasta nu înseamnă că am rezolvat ecuația.
Rezolvarea ecuației înseamnă găsirea tuturor soluțiilor sale (sau dovedirea faptului că ecuația nu are soluții).
Rețineți că nu are sens să întrebați întrebarea "este egalitatea f (x) = g (x) o identitate sau o ecuație". Același lucru, egalitatea f
Exemplul 8. Egalitatea poate fi considerată atât o identitate, cât și o ecuație. Dacă tratăm această egalitate ca o identitate, atunci cea mai completă formulare este următoarea: egalitatea este o identitate pentru x> 0. Dacă tratăm această egalitate ca o ecuație, înseamnă că avem în vedere problema: rezolvarea ecuației ie Ridicăm întrebarea despre care sunt rădăcinile acestei ecuații. Răspunsul este acesta: rădăcinile ecuației sunt toate numerele non-negative și numai ele.
Exemplul 9. Este lipsit de sens să ne întrebăm dacă relația 0 · x + 5 = 5 este o identitate sau o ecuație. Putem spune că este o identitate pe setul tuturor numerelor reale. Dar putem considera această relație ca o ecuație și apoi spunem că rădăcinile acestei ecuații sunt numere reale.
Notă. În plus față de cazurile de mai sus de a folosi semnul = în matematică, există și altele. Astfel, o expresie ca "considera funcția f (x) = x 3 - 3x 2 + 5x + 11" este adesea folosită ca o definiție. În acest caz, simbolul = are sensul că peste tot în argumentul de mai sus f (x) vom desemna cu precizie această funcție.