4,6 *. Numărătoarea numerelor raționale. Neimportanța numerelor reale
Comparația seturilor se realizează cu ajutorul conceptului de corespondență unu-la-unu.
Definiția 5. Două seturi dintre elementele din care se poate stabili o corespondență unu-la-unu (bijecția) se numesc equipotent.
Notă. Este ușor de verificat dacă setul X este echivalent cu setul Y și setul Y este echipotențial cu Z. atunci mulțimea X este, de asemenea, egală cu mulțimea Z.
Se spune că un set X este finit. dacă există un număr natural n (numit numărul elementelor setului X), se poate stabili o corespondență unu-la-unu între elementele setului X și elementele setului n -1, n>.
Evident, două seturi finite sunt echivalente dacă și numai dacă. Când ele conțin același număr de elemente. Un set gol este, prin definiție, finit. Seturile care nu sunt finite sunt considerate a fi infinite.
Dăm exemple de seturi infinite infinite.
Exemple.
1. Setul de numere naturale chiar este egal cu setul de numere naturale. Într-adevăr, corespondența este n 2n. 1, 2. este o bijecție a setului de numere naturale N și setul tuturor numerelor naturale chiar.
2. Setul tuturor numerelor întregi este egal cu setul de numere naturale. De fapt, corespondența
este o bijecție a setului de numere naturale N și setul de întregi Z.
3. Orice două intervale finite (respectiv un segment) al unei linii numerice sunt echipotent. Dacă sunt date două intervale (a, b) și (c, d), atunci harta
este o bijecție a intervalelor (a, b) și (c, d) (respectiv intervalele [a, b] și [c, d]).
4. Setul tuturor numerelor reale R este egal cu orice interval finit al axei numerice. Prin observații definiție după 5 și Exemplul 3 este suficientă pentru a arăta că setul de numere reale este echipotente cel puțin un interval, deci este suficient să se constate că funcția este o corespondență unu-la-unu între punctele intervalului (-1,1) și punctelor întregii axei reale.
Exemplele 1, 2 și 4 arată că, în cazul seturilor infinite, un subset corespunzător al unui set infinit poate fi echipotențial întregului set.
5. Să fie dată o mulțime X. Fiecare cartografiere a setului de numere naturale N în setul X. Aceasta este o reprezentare a formei f. NX. se numește secvența elementelor setului X. Elementul f (n), nN. este notată cu xn și se numește al n-lea termen al secvenței f. NX. numărul n este numărul său. iar elementul f (n) X în sine este valoarea acestui termen.
Secvența f. NX este de asemenea indicat prin xn> sau xn. n este 1, 2.
Rețineți că membrul secvenței este dat de valoarea și numărul său. Dacă n> m. atunci termenul secvenței xn se numește termenul care urmează termenului xm. Setul de termeni ai secvenței este la fel de puternic cu setul de numere naturale, deoarece fiecare număr natural corespunde termenului secvenței și diferitelor numere naturale care corespund unor termeni diferiți ai secvenței care diferă unul de altul prin cel puțin numere. Astfel, setul de termeni ai secvenței este întotdeauna infinit, în timp ce mulțimea de valori ale termenilor secvenței, adică setul de valori ale funcției f. NX (cu alte cuvinte, un subset al mulțimii X pe care setul N de numere naturale este cartografiat de maparea f) poate fi un set finit, în special, constă dintr-un element. În ultimul caz, adică atunci când secvența tuturor valorilor elementelor sale coincide, se numește staționare.
Definiția 6. Un set care este echipollent cu setul de numere naturale este considerat a fi numărare.
Din exemplele 1, 2 și 5 considerate mai sus, rezultă că numerele tuturor numerelor parțiale, tuturor numerelor întregi și tuturor termenilor din orice secvență sunt numărați.
Fie X un set numeric, adică există o mapare (bijecție) unu-la-unu a setului de numere naturale N pe mulțimea X. Un element al setului X corespunzător numărului n. denotă, ca în cazul secvenței, xn și vom apela numărul n numărul său. Prin urmare, putem spune că setul este numărat dacă elementele sale pot fi renumerotate prin numere naturale. Determinarea Diferența set numărabilă de secvențe constă în faptul că, în cazul secvenței de cartografiere a setului de numere naturale nu trebuie să fie bijectivă: nu exclude cazul în care diferite numere naturale ar fi pus în linie unul și același element. Rezultă că setul de valori ale termenilor secvenței este fie finit sau numărare, adică, cel mult, numărare.
Lemma 1. Orice set infinit conține un subgrup infinit numărare.
Fie X un set infinit; atunci în orice caz, este neimpozabil, adică există cel puțin un element în el, îl desemnează cu x1. Din moment ce mulțimea X este infinită, setul X \ x1> este de asemenea neimprimat, adică conține cel puțin un element, îl indicăm cu x2. Continuând acest proces, la etapa n obținem elementul xn. Deoarece X este un set infinit, setul X \ x1, x2. xn> nu este gol, adică conține cel puțin un element, îl indicăm cu xn + 1, etc. Setul x1, x2. xn.> este submulțimea dorită a setului X.
Lemma 2. Orice subset infinit dintr-un set numărare poate fi numărat.
Fie X un set numeric: X = x1, x2. xn.> și YX. Y1 reprezintă elementul Y. având un număr mai mic în X. prin y2 - un element care are următorul cel mai apropiat număr Y., etc. Din moment ce fiecare element al Y este un element al setului X xn, și, prin urmare, are numărul n ... atunci după un număr finit de pași (nu mai mult de n) se obține un anumit număr m și în setul Y. Aceasta înseamnă că va fi notat de ym. și deoarece setul Y este infinit, acest proces poate fi continuat pe o perioadă nedeterminată. Astfel, toate elementele setului Y sunt enumerate, ceea ce înseamnă că acest set este numărat.
Teorema. Setul tuturor numerelor raționale este numărare.
Aranjăm toate numerele raționale într-un tabel care conține un număr infinit de rânduri și coloane după cum urmează (a se vedea tabelul):
Aici în linia n sunt plasate numere raționale scrise de fracții raționale ireductibile cu numitorul n și ordonate prin creșterea valorilor lor absolute și imediat după fiecare număr pozitiv urmează opusul. Este evident că fiecare număr rațional este la un loc în acest tabel.
Acum numerotăm elementele tabelului rezultat în conformitate cu următoarea schemă, în care numerele elementelor corespondente sunt în cercuri, iar săgețile indică direcția numerotării. Ca rezultat, toate numerele raționale se dovedesc a fi numerotate, adică mulțimea Q a numerelor raționale este numărabilă.
Întrebarea naturală apare dacă există seturi nesemnificative, adică seturi infinite care nu sunt numărate și dacă există, atunci este interesant să construim un exemplu de set de nenumărate.