Luați în considerare un sistem de ecuații algebrice liniare (SLAE) cu necunoscute:
Să scriem matricea principală a acestui sistem și matricea extinsă:
SLAU este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse:
Mai mult decât atât, sistemul are o soluție unică dacă rangul este egal cu numărul de necunoscute și un set infinit de soluții dacă rangul este mai mic decât numărul de necunoscuți.
Rangul unei matrice este numărul maxim de rânduri liniar independente ale acestui sistem.
Rangul matricei este cea mai mare dintre ordinele minore ale acestei matrici, altele decât zero.
Regula pentru calcularea rangului de matrice prin minori
La găsirea rangului matricei, este necesar să trecem de la minori minori la ordine minore de ordine superioare. În acest caz, dacă se constată o ordine minoră, a cărui determinant este diferit de zero, atunci trebuie să se calculeze numai minorii minori din această ordine care se învecinează cu această ordine minoră. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu.
Exemple de rezolvare a problemelor
Explorați sistemul pentru consistență:
Redactăm matricele de bază și cele extinse ale sistemului dat
Calculăm rândurile acestor matrici cu ajutorul minori. Alegem un minore nonzero de ordinul doi al matricei:
Luați în considerare minorii de ordinul trei care se învecinează cu acest minor și calculați factorii lor determinanți:
Astfel, rangul matricei de bază. Pentru o matrice extinsă există un alt minor
Factorul său determinant nu este zero, deci rangul matricei extinse. Prin teorema lui Kronecker-Capelli, deoarece sistemul dat de ecuații algebrice liniare nu este compatibil și nu are soluții.
Acest sistem de ecuații algebrice liniare nu are soluții.
Verificați dacă sistemul este compatibil. dacă este așa, găsiți soluția:
Redactăm matricele de bază și cele extinse ale sistemului dat
Calculăm rangurile acestor matrici prin transformări elementale ale șirului. Luați în considerare matricea extinsă. Lasăm prima linie neschimbată, adăugăm prima linie la linia a doua, înmulțită cu, până la al treilea rând adăugăm primul, înmulțit cu, obținem:
Apoi, prima linie este lăsată neschimbată, al treilea rând este redus și noi rearanjăm a doua și a treia linie, obținem:
Primele două linii sunt lăsate neschimbate, la al treilea adăugăm al doilea, înmulțit cu 4:
Astfel, matricile u au trei rânduri liniar independente, deci rândurile lor sunt egale. Prin teorema lui Kronecker-Capelli, deoarece rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse și este egal cu numărul de necunoscute, sistemul are o soluție unică. Să-l găsim. Pentru aceasta, folosind ultima matrice, trecem la sistemul de ecuații
Să calculăm succesiv valorile necunoscute. Din ultima ecuație obținem asta. Substituind această valoare a necunoscutului în a doua ecuație, avem:
Acum înlocuim valorile necunoscutelor găsite în prima ecuație: