O colecție ordonată de n numere reale (c1, c2, cn) se numește o soluție a sistemului (1) dacă, ca urmare a înlocuirii acestor numere, în locul variabilelor corespunzătoare x1, x2. xn fiecare ecuație a sistemului devine o identitate aritmetică; cu alte cuvinte, dacă există un vector C = (c1, c2, cn) T astfel încât AC = B.
SLP se numește comună sau poate fi rezolvată dacă are cel puțin o soluție. Sistemul este numit incompatibil sau insolubil. dacă nu are soluții.
matrice
,
formată prin atribuirea unei coloane de termeni liber matricei A pe dreapta, se numește matrice extinsă a sistemului.
Problema compatibilității sistemului (1) este rezolvată de următoarea teoremă.
Teorema lui Kronecker-Capelli
Teorema lui Kronecker-Capelli. Un sistem de ecuații algebrice liniare este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sale de bază este egal cu rangul matricei sale extinse.
Sistemul are o soluție unică. dacă rangul este egal cu numărul de necunoscute și un set infinit de soluții dacă rangul este mai mic decât numărul de necunoscute.
Rezolva sistemul - înseamnă a afla dacă este comun sau incompatibil. Dacă sistemul este compatibil, găsiți soluția sa generală.
Un exemplu. Investigați un sistem de ecuații liniare
Soluția. Să compunem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să calculam simultan rândurile celor două matrice.
Apoi, multiplicați al doilea rând cu -2 și adăugați-l la al treilea rând, apoi adăugați al treilea rând din ultimul rând. Avem
.
Rangul matricei sistemului este de 3, deoarece matricea are trei rânduri non-zero,
și rangul matricei extinse = 4.
Apoi, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul nu are soluții.
Pentru a rezolva un sistem arbitrar de ecuații liniare, este necesar să putem rezolva sisteme în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute - așa-numitele sisteme de tip Cramer:
a11 x1 + a12 x2 +. + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 +. + a2n xn = b2, (3)
.
an1 x1 + an1 x2 +. + anul xn = bn.
Sistemele (3) pot fi rezolvate într-unul din următoarele moduri:
1) prin metoda Gauss sau prin excluderea metodelor necunoscute;
2) prin formulele lui Cramer;
3) prin metoda matricei.
Metoda matricei
Dacă matricea A a unui sistem de ecuații liniare este nondegenerată, adică, det A = 0, atunci matricea A are un caracter invers, iar soluția sistemului (3) coincide cu vectorul. Cu alte cuvinte, acest sistem are o soluție unică. Găsirea soluției sistemului folosind formula X = C, C = A-1B se numește metoda matricei de rezolvare a sistemului sau soluția prin metoda matricei inverse.
Sarcina 1: Rezolvați ecuațiile matricei în Excel
- Mai întâi trebuie să scrieți sistemul într-o formă de matrice și să îl introduceți într-o foaie Excel:
- Apoi trebuie să folosim Excel pentru a găsi matricea inversă pentru matricea A.
- Mai mult, matricea rezultată trebuie multiplicată cu matricea B.
- Ca rezultat, primim răspunsul:
Sarcina 2: Rezolvați independent sistemul de matrice al ecuațiilor
Răspuns pentru auto-examinare:
Compilat de: Saliy N.A.