Definiția. Se spune că o funcție este infinitezimală. în cazul în care.
Definiția. O funcție este numită infinit de mare la. în cazul în care.
Teorema "Despre conectarea limitelor cu infiniteimali". există și este egal cu () dacă și numai dacă. unde este o funcție infinitezimală pentru.
Proprietățile funcțiilor infinitezimale
1. Suma algebrică a unui număr finit de funcții infinitezimale este o funcție infinitezimală.
2. Produsul unui număr finit de funcții infinitezimale este o funcție infinitezimală.
3. Produsul unei funcții limitate pe o funcție infinitezimală este o funcție infinitezimală.
Teorema "Despre conexiunea dintre infinitezimale și infinit de mari". Inversitatea unei funcții infinitezimale este o funcție infinit de mare.
Notă. Prin definiție, presupunem: dacă. atunci. . . . . .
Comparația funcțiilor infinitezimale
Fie u o funcție infinitezimală pentru.
În cazul în care. atunci ei spun că există o ordine mai mică de micșorare decât atunci când.
În cazul în care. atunci ei spun că există o ordine mai mică a micșorării decât atunci când.
În cazul în care. atunci spunem că ordinul k al micșorării față de. Ei spun că sunt de aceeași ordine a micșorării.
În cazul în care. atunci se spune că echivalentul infinitezimal pentru.
1) Comparați cu și.
În consecință, funcții infinit de mici, de aceeași ordine de mărime ca și.
2) Comparați cu și.
Prin urmare, un infinitezimale de ordin mai mic decât
3) Determinați ordinea dimensiunilor cu privire la
Astfel, o ordine infinitezimală față de.
Pe baza limitelor remarcabile considerate, putem indica o serie de infinitezimale echivalente pentru:
Pentru funcții infinit de mici, următoarele afirmații conțin:
1) Limita raportului dintre două funcții infinitezimale nu se modifică dacă oricare dintre ele este înlocuită cu una echivalentă;
2) Diferența a două funcții infinitezimale echivalente este o funcție infinitezimală a unei ordini superioare de micșorare în comparație cu fiecare dintre ele;
3) Dacă diferența dintre două funcții infinitezimale este o funcție infinitezimală în comparație cu fiecare dintre ele, atunci aceste funcții infinitezime sunt echivalente.
Continuitatea unei funcții la un punct
Continuitatea funcțiilor elementare de bază
Definiția. Se spune că funcția este continuă într-un punct. dacă este definită în anumite împrejurimi ale acestui punct și la punctul în sine și există o limită pentru. egală cu valoarea funcției în acest punct. .
se numesc funcții elementare de bază.
Orice funcție definită explicit printr-o formulă care conține un număr finit de operații aritmetice și suprapuneri ale funcțiilor elementare de bază se numește o funcție elementară.
Teorema "Despre continuitatea funcțiilor elementare". Toate funcțiile care apar în clasa funcțiilor elementare sunt continue peste tot în domeniul definiției lor.