Noțiunea de lungime a unui segment și măsurarea acestuia au fost deja utilizate în mod repetat, în special atunci când numărul natural a fost considerat o măsură de mărime. În această secțiune vom generaliza numai noțiunea de lungime a unui segment ca o cantitate geometrică.
În geometrie, lungimea este o cantitate care caracterizează extinderea unui segment, precum și alte linii (linie întreruptă, curbă). În cursul nostru, va fi luată în considerare numai conceptul de lungime a unui segment. În definiția sa, vom folosi conceptul introdus în subiectul 18 "segmentul este format din segmente".
Definiție Lungimea unui segment este o cantitate pozitivă cu următoarele proprietăți: 1) segmente egale au lungimi egale; 2) dacă un segment constă din două segmente, atunci lungimea sa este egală cu suma lungimilor părților sale.
Aceste proprietăți ale lungimii segmentului sunt utilizate în măsurarea acestuia. Pentru a măsura lungimea unui segment, trebuie să aveți o lungime a unității. În geometrie, o astfel de unitate este lungimea unui segment arbitrar.
După cum se arată în subiectul 18, rezultatul măsurării lungimii unui segment este un număr real pozitiv - se numește valoarea numerică a lungimii unui segment pentru o unitate selectată de lungime sau o măsură a lungimii unui segment dat. Dacă indicăm lungimea unui segment cu litera X, unitatea de lungime este E, iar numărul real obținut prin măsurarea cu litera a, atunci putem scrie: a = mE (X) sau X = a # 8729;
Numărul real pozitiv obținut prin măsurarea lungimii unui segment trebuie să satisfacă un număr de cerințe:
1. Dacă două segmente sunt egale, atunci valorile numerice ale lungimilor lor sunt de asemenea egale.
2. Dacă segmentul x constă din segmentele x1 și x2. atunci valoarea numerică a lungimii sale este egală cu suma valorilor numerice ale lungimilor segmentelor x1 și x2.
3. Atunci când o unitate de lungime este înlocuită, valoarea numerică a lungimii unui segment dat crește (descrește) de câte ori noua unitate este mai mică (mai mare) decât cea veche.
4. Valoarea numerică a lungimii intervalului de unitate este egală cu una.
Se dovedește că un număr real pozitiv care este o măsură a lungimii unui interval dat există întotdeauna și este unic. Se dovedește, de asemenea, că pentru fiecare număr real pozitiv există un segment a cărui lungime este exprimată prin acest număr.
Observăm că de multe ori, din motive de scurtă durată a cuvântului, valoarea numerică a lungimii unui segment este denumită pur și simplu lungimea. De exemplu, în lucrarea "Găsiți lungimea unui segment dat", termenul "lungime" înseamnă valoarea numerică a lungimii segmentului. Nu mai puțin, ele permit o altă libertate - ei spun: "Măsurați segmentul" în loc de "Măsurați lungimea segmentului".
Sarcina. Construiți un segment a cărui lungime este 3.2E. Care va fi valoarea numerică a lungimii acestui segment, dacă unitatea de lungime E este mărită de 3 ori?
Soluția. Construim un segment arbitrar și presupunem că acesta este un interval de unități. Apoi vom construi o linie, vom marca punctul A pe ea și vom compune trei segmente din ea, ale căror lungimi sunt egale cu E. Obținem un segment AB, a cărui lungime este 3E (figura 1).
Pentru a obține o lungime de 3,2E, trebuie să introduceți o nouă unitate de lungime. Pentru a face acest lucru, segmentul de unitate trebuie împărțit în 10 părți egale sau 5, deoarece 0,2 =. Dacă din punctul B am amâna un interval egal cu unul, atunci lungimea segmentului AS va fi egală cu 3.2E.
Pentru a îndeplini a doua cerință a problemei, folosim proprietatea 3, conform căreia, atunci când unitatea de lungime este mărită cu un factor de trei, valoarea numerică a lungimii acestui segment scade cu un factor de 3. Împărțim 3.2 la 3, obținem:
3.2. 3 == 3. 3 = = 1. Astfel, pentru o lungime unitară de 3E, valoarea numerică a lungimii segmentului construit AC va fi egală cu 1.