Momentul inerției corpului este o cantitate aditivă egală cu suma momentelor de inerție a tuturor particulelor corpului:
Aici mi este masa particulei i, care poate fi legată de densitatea materiei ri și de volumul particulei:
Dacă corpul este omogen, adică densitatea lui este peste tot aceeași, atunci r poate fi extrasă dincolo de semnul sumei:
Împărțind corpul în particule mai mici, reducem problema găsirii momentului de inerție la calculul integralului:
Integrarea se realizează pe întregul volum al corpului V.
De exemplu, să calculam momentul de inerție al unei tije uniforme subțiri față de axa z. trecând prin centrul său de masă C (Figura 9.3). Lungimea tijei este l. masa lui este M.
Selectăm elementul dx la o distanță x față de axa de rotație. a cărui masă este dm =.
Momentul inerției acestei particule a tijei este:
Calculând astfel, momentele de inerție a tuturor elementelor tijei, îi adăugăm împreună, luând integral:
.
Integrarea se realizează în x de la intervalul până la.
Cum se va schimba momentul inerției acestei tije dacă axa de rotație este mutată în altă parte? Adu-l, de exemplu, prin marginea tijei?
În acest caz, primul integral trebuie să fie luat în considerare în intervalul de la 0 la 1.
Noua valoare a momentului de inerție al aceleiași tije a crescut considerabil. Aceasta se datorează faptului că momentul inerției corpului este determinat nu numai de masa sa, ci și de distribuția sa față de axa de rotație.
Calculam momentul de inerție al unui alt corp: un cilindru solid în raport cu axa sa geometrică.
Fie M masa și R raza cilindrului (Figura 9.4). Am selectat în acest cilindru un strat cilindric de rază r și grosime dr. Greutatea acestui strat:
unde: r este densitatea materialului cilindrului;
Toate particulele acestui strat sunt la aceeași distanță față de axa de rotație - axa geometrică a cilindrului, ceea ce înseamnă că momentul inerției stratului este egal cu:
Pentru a găsi momentul inerției cilindrului, vom integra ultima expresie:
Rețineți că pR 2 l = V este volumul cilindrului și rpR 2 l = rV = M este masa lui.
Apoi, momentul inerției cilindrului față de axa sa geometrică poate fi scris în cele din urmă în această formă:
Momentul de inerție față de o axă arbitrară (I) este suma momentului de inerție al Ic în raport cu o axă paralelă cu aceasta care trece prin centrul de masă și un produs M în greutate corporală cu pătratul distanței dintre axele.
unde a este distanța dintre axe.
În Figura 9.5, axa de rotație este perpendiculară pe planul desenului: o axă arbitrară trece prin punctul 0; axa paralelă cu ea este trasă prin centrul de masă al corpului - punctul C. Distanța dintre axe este a.
Să separăm un element al corpului de masă Dmi. Momentul său de inerție față de axa 0 este:
După cum urmează din figură, de unde:
Acum, momentul inerției particulei Dmi (9.10) poate fi reprezentat de o astfel de sumă:
Pentru a găsi momentul inerției întregului corp, este necesar să adăugăm momentele de inerție a tuturor particulelor sale:
Aici este considerată o valoare constantă ca semn al sumei - distanța dintre axe a. Primul termen din dreapta = Ma 2. Deoarece = M este masa corpului. Al doilea termen = IC este momentul inerției corpului, în raport cu axa care trece prin centrul de masă. Al treilea termen este zero, deoarece suma este produsul masei corpului printr-un vector tras de la axa C la centrul de masă al corpului. Dar axa C trece prin centrul de masă, deci = 0 și = M = 0.
Colectând aceste rezultate în (9.12), obținem o expresie pentru teorema lui Huygens-Steiner:
Această teoremă simplifică foarte mult problema calculării momentelor de inerție.
Cunoscut, de exemplu, este momentul de inerție al tijei în raport cu axa care trece prin centrul său de masă (9.7):
Folosind teorema lui Huygens-Steiner, este ușor să se calculeze momentul inerției aceleiași tije în raport cu axa z, trecând, de exemplu, prin marginea barei (Figura 9.3):
Această valoare a momentului inerției coincide cu rezultatul (9.8), obținut prin integrarea directă.