Definiția și cele mai simple proprietăți ale unei funcții măsurabile
Dacă la fiecare x din setul E i se atribuie un anumit număr f (x), atunci spunem că funcția f (x) este dată pe setul E. În acest caz, permitem și valori infinite ale funcției, cu condiția ca acestea să aibă un semn clar, adică introducem numere "necorespunzătoare"
. Aceste numere sunt legate unul de celălalt și de orice număr finit de inegalități
,
și le stabilim următoarele legi de acțiune:
, +
+(+
) = +
, +
-(-
) = +
,
, -
+(-
) = -
, -
-(+
) = -
,
, +
) = +
,
) = -
n. Cu alte cuvinte, pentru k
n este fk (x0)> a + 1 / m.
Fie ca k să se apropie de infinit și să treacă la limită în ultima inegalitate, obținem că F (x0)> a, adică, X0 ÎE (F> a). Aceasta dovedește includerea (*). Teorema sa dovedit a admite următoarea generalizare.
este satisfăcut aproape oriunde pe E, atunci F (x) este măsurabil.
Dovada lemnei. Indicăm prin A mulțimea tuturor punctelor din X Î E, în care relația (a) nu se află (în aceste puncte ale limitei
poate să nu existe deloc). Prin ipoteză, mA = 0 și F (x) este măsurabilă pe set A. Prin Teorema 2, este măsurabilă, iar setul E - A, iar apoi este măsurabilă și întregul set E.
Secvențe de funcții măsurabile. Convergența în măsură.
În acest moment, trebuie să luăm în considerare seturile formulei E (| f - g | ³s), E (| f - g | E = E (| f - g | φs) + E (| f - g | iar termenii de pe partea dreaptă nu se intersectează. Teorema 1 (Lebesgue) .Pust pe măsurabilă set E o secvență de funktsiyf1 măsurabilă și finită aproape peste tot (x), f2 (x), f3 (x), ..., că aproape toate punctele E converge funcție aproape peste tot finită f ( x). Apoi, pentru orice s> 0, va exista Dovada lemnei. În primul rând, rețineți că, prin Teorema 3, funcția limită f (x) este, de asemenea, măsurabilă și, prin urmare, seturile în cauză sunt măsurabile. .Articole similare