Doar întreb dacă rezultă din faptul că doi operatori comute, că au propriul lor vector, cel puțin unul?
Într-un spațiu dimensional finit, există cel puțin unul. Dar se întâmplă că, cu acest lucru, totul este limitat, ca în exemplul dat de mine.
Într-un spațiu infinit dimensional, un operator nu poate avea nici un vector propriu. Chiar și hermitianul.
în dovadă nu am văzut unde se folosește hermiticitatea
Pentru a avea un sistem comun de funcții proprii, este necesar să existe pur și simplu un sistem de funcții proprii (se pare că se dorește ca acesta să fie complet) și aceasta necesită fie o hermiticitate, fie o condiție similară.
Există încă o problemă cu ceea ce este o funcție proprie în cazul în care operatorul are un spectru continuu.
Și cum se poate dovedi acest lucru sau unde să citiți despre el, puteți să-i sfătuiți?
Fie ca spațiul să fie finit-dimensional și să călătorească cu el. Y are cel puțin un eigenvector (fapt cunoscut), lasă. Apoi. Prin urmare, va fi un vector propriu pentru aceeași valoare personală (bine, sau). În consecință, un subspațiu (neimpozabil) propriu al operatorului care corespunde valorii proprii este un subspațiu invariant. Cu alte cuvinte, acțiunea operatorului nu deduce din acest subspațiu. Luați în considerare restricția la subspațiul indicat; are cel puțin un vector propriu, va fi comun pentru și.
Dovada nu funcționează în cazul de tip dimensional infinit, deoarece se bazează pe faptul că "un operator într-un spațiu dimensional finit are cel puțin un vector propriu".
Dar cu un operator de traducere specific, dacă presupun că primul are un sistem de funcții care corespund unei singure valori proprii, este posibil să se repete dovada că atunci operatorul de comutare cu acesta va avea și un astfel de sistem de funcții?
Puteți găsi aceste funcții și puteți calcula acțiunea celui de-al doilea operator pe ele.
dar în dovadă nu am văzut unde se folosește hermiticitatea
Dovezile sunt diferite, probabil. Dar, în principiu, rolul-cheie pentru operatorii hermitici este jucat de faptul că complementul ortogonal al subspațiului propriu-zis este un subspațiu invariant. Acest lucru ne permite să realizăm o diminuare a dimensiunii (în cazul dimensional-finit, în mod natural, dar și pe dimensiunile infinite, aceste considerații sunt generalizate într-un anumit sens). Simplul fapt al invarianței complementului ortogonal în sine este adevărat nu numai pentru operatorii hermitici, ci în general pentru toți operatorii obișnuiți; în special, pentru unitar.
Dar cu un operator de traducere specific, dacă presupun că primul are un sistem de funcții,
Și care este operatorul de traduceri? Dacă există o schimbare (), atunci el nu are nicio funcție eigen - spectrul său este pur continuu. Adevărat, acest operator este unitar, deci în generalizarea corespunzătoare el intră sub teorema.