Calculul declarațiilor Testarea deductibilității inferențelor corecte. Algoritmul lui Quine. Regula de rezoluție. Algoritmul lui Wong.
S sisteme formale (FS)
Z - alfabet de semne speciale de separare
PPF - formule bine formate de nume și semne
A Î PPF - formule numite axiome
PV - regulile de inferență asupra setului PPF a formularului "dacă, atunci"
Un calcul astfel încât eu să fiu construit constructiv dintr-un set de axiome folosind PV.
Exemplul 1. Gramatici formale. , unde A este alfabetul terminal; V este alfabetul auxiliar; P - reguli de inferență, tip, unde (toate cuvintele din alfabetul combinat); S - simbolul auxiliar inițial (începutul generării) este o axiomă.
Gramatica G generează limba (calculează), care este un set de cuvinte alocate în scopul sintactice modelelor descriere a unor obiecte (de exemplu, Algol limbaj de programare).
II. Modelul formal al declarațiilor (limba pronunțărilor)
A - alfabetul numelor. Z este alfabetul semnelor = ®, . ù, V. Å, º, alte semne de operații logice, - între paranteze>. PPF parantezele sunt de la formula A și Z. construită în conformitate cu anumite reguli, de exemplu - au PPF si PPF Formula nu este. Literele A, B, C, etc. denotă complex PPF.
1) Fiecare lucru este o declarație atomică. De exemplu, p - "studentul este adormit", q - "elefanții trăiesc în Africa"
2) Fiecare PPF formează o declarație complexă, în care semnul este dat înțelesul conectivității logice între afirmații.
- sensul: A sau B, dar nu ambele împreună (divizate sau).
- sensul: A este identic (echivalent).
ù - sensul: nu A. altă denumire -
Exemplu: p - studentul este adormit, q - timpul este în desfășurare, r - prelegerea este plictisitoare.
Studentul adormeste si timpul se scurge.
Un student este adormit dacă prelegerea este plictisitoare.
5. Interpretarea PPF.
1) Fiecare declarație atomică are o valoare.
2) Fiecărui PPF i se atribuie o valoare în funcție de interpretarea pachetelor ca semne de operare. Interpretarea pachetelor corespunde tabelelor de adevăr ale FAL.
3) Dacă, pentru o interpretare, FFT este adevărat, atunci se numește executabil pe această interpretare.
4) Dacă FFT este adevărat (adevărat) pe toate seturile, atunci se spune că este identic adevărat. sau tautologie. fie universal valabil.
Alte interpretări ale PPF.
a) Logica multivaluată. De exemplu, fiecare propoziție atomică din PPF și PPF însăși primește o valoare din set - logica ternară.
b) Logica plauzibilă. Prezentat de D. Poya în cartea "Matematică și raționamente plauzibile". PPF ia valori din set și se interpretează ca o măsură a veridimilității cuvântului. D. Poya a introdus reguli pentru calcularea plauzibilității declarațiilor pliate privind plauzibilitatea componentelor sale.
III. Un fel de afirmație specială este raționamentul sau
Motivarea este formată din două instrucțiuni "p" și "S". p - declarație - premisă, S - a spune - o consecință, înregistrarea formală a raționamentului - citește „p presupune S», sau „în cazul în care P atunci S» .Inogda declarație S este numit, de asemenea, concluzia.
Ce proprietati sunt date rationamentului potrivit? Următoarele relații trebuie respectate:
a) dacă P = "adevărul", atunci S trebuie să fie "adevărat".
b) în cazul în care P = „false“, atunci „minciuni“ poate fi urmat de orice, adică. e. În cele din urmă, S poate fi fals și adevărat.
c) adevărata premisă nu ar trebui să fie urmată de o concluzie falsă.
Toate aceste relații determină o rațiune corectă sau adevărată, așa cum se arată în tabelul următor.
Se poate introduce o astfel de interpretare a raționamentului corect: dacă este corect, atunci.
Rațiunea corect construită este o tautologie. În raționamentul corect, nu poate fi faptul că premisa este adevărată, iar concluzia este falsă. Această linie din tabelul de adevăr nu este corectă. Dacă este o tautologie, atunci se spune că raționamentul este construit în conformitate cu logica și este o lege logică. care nu depinde de interpretare, ci este determinată numai de structura (PPF) a premiselor și consecințelor.
IV Legi logice (Aristo-322 î.Hr.).
Pentru prima dată într-o formă explicită, legile logice prin care s-au construit argumentele corecte au fost formate de Aristotel. Este surprinzător faptul că teoria raționamentului corecte, care a fost numit concluzii silogistice si corecta metoda de ieșire a parcelelor - deducere s-au format în urmă cu mai mult de 2 mii de ani, nimeni nu a negat și sunt considerate inerente în gândirea umană.
Reamintim că toate legile logice ar trebui să fie tautologii. Uneori, legile sunt numite reguli de inferență, care determină concluzia corectă din premisă.
1) Modus ponens (regula de separare); adică: dacă este adevărat că A urmează de la A și A este adevărat, atunci B este adevărat.
Înregistrarea oficială a declarației (inferențe, raționamente) sub forma unei formule. Validitatea raționamentului este verificată conform tabelului de adevăr.
Verificarea tautologiei cu transformări echivalente.
Exemplu: În cazul în care prelegerea este plictisitoare, elevul este adormit. Prelegerea este plictisitoare.
2) Tollens modus (marus negativ)
3) regula silogismului;
4) Legea contrapărții
5) Toate relațiile (identitățile) algebrice ale logicii sunt tautologii și, prin urmare, sunt legi logice.
6) Legea excluderii celui de-al treilea.
7) Legea distributivității și.
8) Legea "dilemelor fatale"
Următoarea teoremă poate fi dovedită.
Orice formulă care este o tautologie poate fi redusă la forma și a declarat o lege logică.
De exemplu, - este o tautologie, deoarece prin denotare
Pentru a reprezenta F într-o formă, introducem
V.Calcularea declarațiilor.
De mare interes este construirea unui sistem formal, care, printre toate situațiile posibile ale PPF distinge cei care sunt legi logice (argumente bine formate, rationament logic, tautologii, declarații general valabile).
Un sistem formal care generează situații care sunt tautologii, și numai ei, se numesc calcul propozitional (BPI). Sa arătat mai sus că orice enunturile formula (inclusiv tautologie) poate fi redusă la structura raționamentului (inferență), „în cazul în care R. S».
Formulele din IV sunt considerate deductibile din axiome. În fiecare derivare din tautologii, derivă tautologiile. denumire: # 8870; ; interpretare: de deductibil.
Sistemul formal IW este determinat de:
Formulele - axiomele sunt tautologii. Regulile de inferență sub formă sunt, de asemenea, tautologii.
În zilele noastre este cunoscut în prezent „20 IW, care diferă unul de altul axiome (circuite axiome) și reguli ieșiri. Mark IV au 1) caracterul complet al proprietății - (acestea sunt deductibile toate tautologii și numai ei) 2) un set de axiome are caracterul complet minim (de exemplu, îndepărtarea a cel puțin unuia dintr-un set de axiome face BPI incompletă) ...
1) IV Ujtheda și Russell (1920)¸1930, Anglia).
Reguli pentru derivarea lui P1: înlocuirea lui A în loc de B; P2: Înlocuirea cu formula echivalentă P3: Modus ponens # 8870; V.
2) IV Nikoda (1952, SUA)
Singura axiomă cu funcționarea accidentului lui Sheffer:
singur PV: # 8870; C.
VI. Metode și algoritmi pentru verificarea deductibilității.
Să fie dat un set de PPF, care se numește premise (uneori ipoteze), și PPF -. "Se numește o consecință logică. sau ieșire de la A (scris ca # 8870; ), dacă este o tautologie (aceeași afirmație adevărată).
Astfel, problema verificării deductibilității se reduce la verificarea identității adevărului. Există mai multe zeci de metode și algoritmi pentru stabilirea identității formulei logice.
AIT este redusă la o substituție consecventă a tuturor interpretărilor posibile (seturi „true“ și „false“) variabile în. Algoritmul se oprește în cazul în care valoarea este falsă (nu este fezabil, și, prin urmare, nu este dedusă din toate interpretările); adevăr (fezabil în toate interpretările, atunci esența tautologiei și A # 8870 ;. Acest algoritm necesită cel mai rău substituții 2n (2n interpretări posibile), unde «n» numărul variabilelor în formula F.
2. Algoritmul Quine (Quine, 1960, SUA)
Idea: substituții la valori consecutive ale variabilelor pot fi reduse lungime de formula, bazată pe multitudinea de controale de valabilitate efectuat F. și reduce astfel numărul de variabile care trebuie verificate.
Se introduce conceptul de arbore de test, care este, în esență, un grafic al tuturor interpretărilor formulei de testare. Quine a numit-o "un copac semantic".
Exemplu: Să fie necesar să se verifice validitatea generală a formulei
Arborele semantic. Fiecare margine stângă a copacului corespunde variabilelor, iar fiecare margine dreaptă este.
Fiecare ramificație (de exemplu cea din stânga) corespunde setului (p × q × r), celui din dreapta. Arborele listează toate posibilele conjuncții elementare.
1) Pentru F (vertex), atunci
(formula de la punctul "1")
2) Setați pentru, apoi
(formula de la punctul "2")