Serii alternante și alternante

Serii alternante și alternante

1. Semnul d'Alembert
2. Testul Cauchy
3. Criteriul integral pentru convergența seriei
4. Serii alternante. Semnul distinctiv al lui Leibniz
5. Serii alternante. Seriile convergente absolut și condiționat
Lista surselor utilizate


1. Semnul d'Alembert

Teorema 1 (testul d'Alembert). Lăsați seria să fie dată. unde tot> 0. Dacă există o limită

atunci pentru 0 1 seria converge.
◄ Există o limită mai mică

unde 0 0, de exemplu, pentru
,există un indice N astfel încât pentru toate n ≥ N inegalitatea

1, începând cu un număr N, inegalitate

În consecință, 0 și seria se diferențiază, deoarece criteriul necesar pentru convergență nu este îndeplinit. ►
Notă. În cazul în care

Sau nu există, semnul d'Alembert nu oferă răspunsul despre convergența sau divergența seriei.
Exemple. Investigați următoarele serii de convergență:
1.
◄ Pentru o serie dată, avem

Pe baza d'Alembert, seria converge. ►
2.
◄ Avem

Acest număr este divergent. ►

Teorema 2 (testul Cauchy). Să se dea o serie

Dacă există o limită finită

apoi 1) converge pentru serie, și 2) seria diverge.
◄ 1) Să presupunem că. Luăm un număr q astfel încât. Deoarece există o limită

în cazul în care. apoi, pornind de la un număr N., inegalitatea va rămâne.
De fapt, dintr-o anumită egalitate rezultă că pentru orice ε, inclusiv pentru
ε =. există un număr N pornind de la care inegalitatea

de unde sau ce, de asemenea,
.
Prin urmare, obținem
pentru.
Astfel, toți membrii seriei, începând cu. mai puțin decât termenii corespunzători ai seriei convergente. Prin comparație, seria

converge și, prin urmare, și seria (1) converge.
2) Să presupunem că. Apoi, începând cu un număr N, pentru toate n> N. inegalitatea deține. sau

Și seriile (1) se deosebesc. ►
Notă. În cazul în care. atunci seria (1) poate fie converg sau diverg.
Exemple. Investigați următoarele serii de convergență:

3. Criteriul integral pentru convergența seriei

Teorema 3 (criteriul integral pentru convergență). Să presupunem că funcția f (x) este definită, continuă, pozitivă și nu crește pe rază. apoi:
1) seria numerică converge în cazul în care integritatea necorespunzătoare

2) seria se diferențiază dacă integritatea necorespunzătoare (1)


◄ Luați în considerare graficul funcției f (x) cu abscisele
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, .... xn = n
și să construiască figuri cu două trepte constând în protuberanțe și intrări în dreptunghiuri, așa cum se arată în Fig. 1. Zona Q a trapezului curbilinar mărginită de liniile x = 1, x = n, y = 0 și curba y = f (x) este egală cu

Luăm a șaptea sumă parțială a seriei:
S n = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)
Apoi, zona Q + a figurii proiectate va fi egală cu
Q + = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n-1)
Și zona Q a figurii primite este
Q - = + f (2) + f (3) + ... + f (n) = S n - f (1).
Din structura și proprietățile funcției f (x) rezultă că
Q-0 pentru. atunci rezultă din inegalitatea (2)

S n 0 pentru n = 1, 2, .... Prin urmare, are o limită

Ceea ce înseamnă convergența seriei.
2) Să presupunem că diferențialul (1) diverge. Deoarece prin ipoteză
f (x)> 0 pentru.

S n ≥. n = 1, 2, ...,

și anume seria diverge. ►
Exemplu 1. Investigați seria de convergență

◄ Aici. Se știe că integritatea necorespunzătoare

converge pentru p> 1 și diverge pentru p ≤ 1. În consecință, această serie converge pentru p> 1 și diverge
pentru p ≤ 1. În particular, pentru p = 1 obținem seria armonică

Exemplu 2. Investigați seria de convergență

◄ În acest caz, funcția u

= (arctg b-arctg 1) =,
și anume integrală

converge și, prin urmare, seria converge. ►
Exemplu 3. Investigați pentru serii de convergență

Deoarece termenul general al acestei serii are forma. apoi selectăm o funcție.
Integralul necorespunzător

Prin urmare, seria diferă de asemenea. ►
Notă. Limita inferioară a integrării în integritatea necorespunzătoare

poate fi considerată arbitrară, de exemplu egală cu a, unde a ≥ 1 este orice număr.
Exemplu 4. Investigați convergența seriei

◄ De la termenul general al seriei

apoi ca o funcție pe care o luăm

Deoarece integritatea necorespunzătoare

converge, apoi seria originală converge și ea. ►
În cazul convergenței metodei aplicate în dovada convergenței semnului integral, acesta oferă o estimare a erorii, care are loc atunci când înlocuiți sumele sumei parțiale.
Să presupunem că funcția f (x) satisface condițiile din Teorema 9, seria

converge și suma lui este egală cu S. Se poate arăta că în acest caz integritatea necorespunzătoare

estima restul Rn din seria dată, avem

Astfel, eroarea obținută la înlocuirea sumei S dintr-o serie convergentă
cea de-a treia parte a lui Sn. nu depășește integralele.
Exemplul 5. Stabilirea convergenței seriei

și pentru a estima eroarea la înlocuirea sumei sale S5.
◄ Aici

Prin criteriul integral, seria converge. Denumim suma acestei serii de S și presupunem că
S ≈ S5. atunci
S ≈ S5 ==

Să estimăm eroarea R5. Avem

Exemplul 6. Estimați reziduul n-lea dintr-o serie convergentă

4 serii alternante. Semnul distinctiv al lui Leibniz
Definiția. Serii de numere

a1 - a2 + a3 - ... + (- 1) n - 1an + ...,

unde toate numerele sunt pozitive, se numește semnul-alternativ.
Un exemplu. Seria

este alternativ, și seria

cel alternativ nu este.
Pentru seria alternativă, se aplică următorul test de convergență, care se numește testul Leibniz.
Teorema 4 (testul Leibniz). Lăsați în seria alternativă

a1 - a2 + a3 - ...
secvență numerică scade
a1> a2> a3> ... Apoi această serie converge, iar suma S este pozitivă și nu depășește primul termen:

◄ Luați o sumă chiar parțială S2n din această serie și scrieți-o în formă

S2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) + ... + (a2n-1-a2n).

Din ipoteza teoremei rezultă că diferențele dintre paranteze sunt pozitive și, prin urmare, S2n> 0,
și cu creșterea n, suma parțială S2n crește. Această sumă poate fi înregistrată
și așa:

S2n = a1 - (a2 - a3) - (a4 - a5) - ... - (-a2n 2 - a2n-1) - a2n.

Aici fiecare categorie este pozitivă, din care rezultă

descărcați pagina de copertă pentru muncă

Articole similare