Monotonicitatea funcției pe interval Dacă în intervalul \ ((a; b) \) pentru orice pereche de puncte \ (\), atunci funcția \ (f (x) \) scade în acest interval.
Funcția a cărei grafică este reprezentată în figură crește pe intervalul \ ((a; b) \) și scade la intervalul \ ((b; c) \).
Semne suficiente de monotonie a unei funcții pe un interval Un semn suficient de creștere a funcției
Dacă \ (f '(x)> 0 \) în toate punctele lui \ (x \ in (a; b) \), atunci funcția \ (f (x) .
Un semn suficient al scăderii funcției
Dacă în intervalul \ ((a; b) \) care conține punctul \ (x_0 \) pentru toți \ (x \ in (a; b) \) \ (f ) \ geqslant f (x_0) \), în care, în acest interval există un punct \ (x_1 \), că \ (f (x_1)> f (x_0) \), apoi \ (x_0 \) - un punct minim local al \ (f (x) \).
Dacă într-un anumit interval \ ((a; b) \) care conține punctul \ (x_0 \) pentru toate \ (x \ in (a; b) \) inegalitatea \ (f (x) \ leqslant f (x_0) ), iar în acest interval există un punct \ (x_1 \) astfel încât \ (f (x_1)
Semnele de maxim și minim în cazul în care punctul \ (x_0 \) funcția \ (f \) este continuă și \ derivatul său (f „\) își schimbă semnul său de la pozitiv la negativ la acest punct (de exemplu, există un interval \ ((a (\ x '0) \), astfel că \ (f' 0 \) pe \ ((a; x_0) \) și un interval \ ((x_0; b) x_0; b) \)), atunci \ (x_0 \) este punctul minim al funcției \ (f1).
Punctele minime și maxime ale funcției sunt punctele din domeniul definirii acestei funcții (adică valorile lui \ (x \)). Valorile funcției în aceste puncte (valorile lui \ (y \) corespunzătoare acestor \ (x \)) se numesc minimele și maximele funcției, respectiv.
De exemplu, pentru funcția \ (y = x ^ 2 + 1 \): \ (\; x = 0 \) este punctul minim și \ (y (0) = 1 \) este minim.
Găsirea punctelor minime și maxime Pentru a găsi punctele minime și maxime ale unei funcții continue \ (f (x) \):
1) găsiți derivatul \ (f '(x) \) al acestei funcții;
2) găsiți zerourile derivatului (rezolvați ecuația \ (f '(x) = 0 \)) și punctele la care derivatul nu este definit;
3) găsiți semnele derivatului la fiecare dintre intervalele rezultate;
4) acele puncte în care funcția \ (f \) este continuă, iar derivatul său modifică semnul de la "+" la "-" - punctele maxime ale acestei funcții,
acele puncte în care funcția \ (f \) este continuă, iar modificările sale derivate semnează de la "-" la "+" - punctele minime ale acestei funcții.
Valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții pe un segment O funcție continuă pe un segment atinge cea mai mare și cea mai mică valoare pe acest segment.
Pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții continue \ (f (x) \) într-un interval, avem nevoie de:
1) găsiți derivatul \ (f '(x) \) al acestei funcții;
2) găsiți punctele critice. adică, zerourile derivatelor (rezolvați ecuația \ (f '(x) = 0 \)) și punctele la care derivatul nu este definit;
3) găsiți valoarea funcției în punctele critice, precum și la capetele segmentului;
4) cea mai mare dintre valorile obținute va fi cea mai mare valoare a funcției pe un anumit segment,
Cel mai mic dintre valorile obținute va fi cea mai mică valoare a funcției pe un interval dat.
Cea mai mare valoare a funcției \ (f (x) \) pe intervalul \ ([a, b] \) este notată cu \ (\ max \ limits_f (x) \)
Valoarea cea mai mică a funcției \ (f (x) \) pe intervalul \ ([a, b] \) este notată cu \ (\ min \ limits_f (x) \)
