Definiție 14. Să # 151; unele set și # 151; -algebra subseturilor sale. O funcție se numește o măsură dacă este îndeplinită următoarele condiții:
(1) pentru orice set, măsura sa nu este negativă;
(2) pentru orice set numărabilă de seturi disjuncte (de exemplu, astfel încât pentru orice), măsura unirii lor este egală cu suma acțiunilor lor:
(Măsurători "aditivitate countable" sau "sigma-aditivitate").
Să presupunem, # 151; set de toate subseturile. Am stabilit măsura în acest sens: ,,,,,,,. Pentru coincidență am scris peste tot.
Să presupunem, # 151; setul tuturor subseturilor seriei naturale. Am stabilit măsura ca: # 151; numărul de elemente din set (sau infinit dacă setul nu este finit).
Exemplul 16 (măsura Lebesgue (1)). Când am vorbit despre probabilitatea geometrică, am folosit termenul "măsurarea regiunii în", adică "lungime" pe o linie dreaptă, "zonă" pe plan, "volum" în spațiul tridimensional. Sunt toate aceste "volume-lungime-volume-volum" măsuri reale în sensul definiției 14. Rezolvăm această întrebare pentru o linie dreaptă, lăsând avionul și spațiul cu o dimensiune mai mare cititorului.
Considerăm linia reală cu algebra seturilor Borel. Această algebră, prin definiție, este cea mai mică algebră care conține intervale. Pentru fiecare interval, numărul este numit lungimea intervalului.
Nu vom demonstra următoarea afirmație:
Lemma 1. Există o măsură unică, a cărei valoare pe orice interval este egală cu lungimea ei :. Această măsură se numește măsura Lebesgue.
Observația 7. Această afirmație este o consecință a teoremei lui Caratheodory (2) privind extinderea unei măsuri de la o algebră la o algebră, în ceea ce privește. Folosind procedura de continuare Lebesgue a unei măsuri, se poate extinde măsura la o algebră mai largă decât funcția Borel, # 151; on-algebra seturilor măsurabile Lebesgue. Pentru aceasta este suficient să se atribuie o măsură zero la orice subset de seturi Borel cu măsura Lebesgue zero.
Avem nevoie de o proprietate pe care o posedă orice măsură. Această proprietate a continuității măsurii este uneori numită axiomul continuității. având în vedere că poate fi înlocuită cu (2) în definiția 14.
Lemma 2 (continuitatea măsurii). Să se dea o succesiune descrescătoare de seturi imbricate din astfel de și. Apoi.
Dovada. Indicăm prin inele :. Seturile ,,,, sunt pereche disjuncte. Apoi, din reprezentări
în virtutea axiomei (2) rezultă că
Prima sumă, în virtutea condiției, este suma unei serii absolut convergente (compuse din termeni non-negativi). Din convergența acestei serii rezultă că "coada" seriei, egală cu, tinde la zero. prin urmare
Utilitatea acestei proprietăți este ușor de verificat prin exerciții.
Folosind axioma măsurilor de continuitate pentru seturi, dovedesc că măsura Lebesgue a unui subset Singleton a liniei reale este zero :. Folosind acest fapt, dovedi că ,,,.
Notă. În absența unor ipoteze (sau pentru unii), forțând măsuri imbricate set fie finit, proprietatea nu poate fi realizată.
De exemplu, să setăm măsura la :, dacă nu mai mult decât numărarea, altfel. Apoi pentru seturi avem:
În sfârșit, putem defini conceptul de probabilitate.
Definiție 15. Permiteți # 151; set și # 151; -algebra subseturilor sale. O măsură se numește normalizată dacă. Un alt nume pentru o măsură standardizată # 151; probabilitate sau probabilitate.
Același lucru din nou și în detaliu:
Definiție 16. Să # 151; spațiul de rezultate elementare, # 151; Algebra subseturilor sale (evenimente). O măsură de probabilitate sau de probabilitate este o funcție cu următoarele proprietăți:
(P1), există o inegalitate pentru orice eveniment;
(P2) pentru orice set de numere pereche de evenimente incompatibile avem egalitatea
(P3), probabilitatea unui eveniment valabil este una :.
Proprietăți (P1) # 151; (P3) se numesc axiome de probabilitate.
Definiția 17. Un triplet în care # 151; spațiul de rezultate elementare, # 151; Algebra din subseturile și # 151; este un spațiu de probabilitate.
Să demonstrăm proprietățile probabilității care rezultă din axiome. Mai jos, nu vom vorbi de fiecare dată, dar vom avea în vedere că avem de-a face doar cu evenimente.
Dovada. Evenimente, unde, sunt pereche inconsistente, și uniunea lor este, de asemenea, un set gol. Prin axiom (P2).
Acest lucru este posibil numai în caz.
Axiomul de aditivitate numerică a probabilității (P2) este cu atât mai adevărat pentru un set finit de evenimente pereche incompatibile.
Proprietate 1. Pentru orice set finit de evenimente pereche incompatibile, avem egalitatea
Dovada. Am pus pentru orice. Probabilitatea acestor evenimente, conform proprietății 0, este zero. Evenimentele ,, sunt pereche incompatibile, și în funcție de axiom (P2).
Mai multe consecințe pot fi obținute din această proprietate.
Proprietate 2. Pentru orice eveniment, executați :.
Dovada. Deoarece evenimente și inconsecvente și, de la axioma (P3) și a obține proprietăți 1.
Proprietate 3. Dacă, atunci.
Dovada. Imaginați-vă ca o combinație a două evenimente incompatibile :. De proprietate 1 ,.
Imediat, observăm că expresia axioma (P1) în partea dreaptă este mai mare sau egală cu cea dovedește următoarea proprietate monotonie de probabilitate.
Proprietate 4. Dacă, atunci.
Proprietate 5. Pentru orice eveniment :.
Dovada. de către (P1). Și atunci, atunci.
Proprietatea 6. Întotdeauna.
Dovada. Avem, prin urmare, proprietatea 3 Dar, în plus, sunt incompatibile. Din nou, folosind proprietatea 1, obținem:
Din această proprietate și axiomul (P1) urmează două proprietăți utile. Proprietatea 8 va fi dovedită de către cititor folosind proprietatea 7.
Proprietatea 7. Întotdeauna.
Proprietate 8. Absolut întotdeauna.
Următoarea proprietate se numește formula de includere și excludere. Se pare că este foarte util în cazul în care pentru a calcula probabilitatea unui eveniment este imposibil să spargeți acest eveniment în evenimente incompatibile pereche convenabile, dar este posibil să distrugeți evenimentul în componente simple, care totuși sunt comune.
Proprietatea 9. Pentru orice set finit de evenimente, se aplică următoarea egalitate:
Dovada. Folosim metoda inducției matematice. Baza inducției de sub # 151; proprietatea 6. Fie proprietatea 9 adevărată pentru. Să dovedim că atunci este adevărat. Prin proprietatea 6,
Exercitarea 19. Membru supleant (4). (5) din (3) și completați etapa de inducție.
Iată un exemplu al unei probleme în care utilizarea proprietății 9 # 151; cea mai ușoară cale de a rezolva. Aceasta este bine-cunoscuta "problema secretarului împrăștiat".
Exemplul 17. Există scrisori și plicuri semnate. Scrisorile sunt puse în plicuri la întâmplare unul câte unul. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o literă să cadă în plicul destinat lui și limita acestei probabilități când.
Soluția. Lăsați evenimentul, înseamnă că scrisoarea a intrat în plic. atunci
Întrucât evenimentele ,, sunt comune, va trebui să folosim formula (2). Prin definiția clasică a probabilității, se calculează probabilitățile tuturor evenimentelor și intersecțiile lor. Rezultatele elementare vor fi diferite permutări (plasări) de scrisori prin plicuri. Numărul lor total este și evenimentul este favorabil de la ei, și anume orice permutări ale tuturor literelor, cu excepția celui care se află în plicul lor. Prin urmare, pentru toți.
În același mod obținem asta pentru orice
Probabilitatea de intersecție a oricăror trei evenimente este
În mod similar, se calculează probabilitățile de intersecții ale oricărui alt număr de evenimente, inclusiv
Calculăm numărul de termeni din fiecare sumă din formula (2). De exemplu, în suma exactă a termenilor # 151; exact atât de multe seturi cu trei elemente pot fi formate din elemente și fiecare set se produce o dată în indicii unei sume date. Înlocuind toate probabilitățile în (2). obținem:
Exercițiul 20. Scrieți expansiunea Taylor și asigurați-vă că atunci când.