Curs 17. Zona unei figuri plate, pătrate
17.1. Conceptul de pătrat al unei figuri plane
Vom însemna un set limitat de puncte dintr-
Se spune că un set este mărginit dacă există un cerc care conține toate punctele din acest set.
Pentru un calcul aproximativ al zonei în practică, de exemplu, utilizați o placă transparentă pentru paleți sau o foaie de hârtie pe care se aplică o rețea pătratică. suprapusă
trageți-o pe o cifră, numărați numărul de pătrate din figură. Acest număr, înmulțit cu aria unui pătrat, este egal cu valoarea aproximativă a zonei fracțiunii defecte. Pentru a obține o valoare aproximativă a zonei cifrei cu un exces, ia în considerare toate pătratele din rețea, care au puncte comune cu cifra. Luând media aritmetică
Fig. 1: Măsurarea aproximativă a zonei folosind paleți.
între aceste valori, obținem o valoare aproximativă a zonei acestei cifre. Cu cât este mai mică grila pătrată a paletului, cu atât este mai precis rezultatul obținut.
Se pune întrebarea: pentru ce figuri de avion poate fi generalizată această metodă de găsire a zonei? Firește, trebuie să determinăm care este zona și cifra care este pătrată.
Pentru a introduce noțiunea de zonă a unei figuri plane, vom merge dintr-un tip special de avion, așa-numitul poligon.
Polygon se va numi o parte a planului delimitat printr-o linie simplă poligonală închisă, adică. E. Curba închisă fără sine constă dintr-un număr finit de legături drepte (segmente) conectate în așa fel încât la începutul următorului segment coincide cu sfârșitul anului anterior, la începutul primului interval coincide cu sfârșitul acesta din urmă. Punctele acestui poligon sunt puncte de graniță ale poligonului. Setul tuturor punctelor de graniță ale unui set este numit legătura acestui set.
Zona oricărui poligon poate fi calculată prin împărțirea lui în triunghiuri disjuncte (fără puncte interioare comune). Din cursul școlii secundare sunt cunoscute următoarele formule pentru calcularea ariei unui triunghi.
1. Formula suprafeței triunghiului de-a lungul laturii și înălțimii. Zona triunghiului este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii triunghiului cu lungimea trasată
1 Amintiți-vă că un punct M este numit un punct de frontieră al setului A dacă în orice vecinătate a punctului M există ambele puncte care aparțin setului A și nu aparțin lui A.
În consecință, FJP jg pluralitate de pătrate înscrise în formă plană de poligoane delimitate mai sus (orice zonă circumscriere forme poligonale) și fjQjg multitudine de zone circumscrise despre forme poligonale delimitate de mai jos (zona oricărui poligon înscris în figură). Ca urmare,
2. Fiecare set non-gol mărginit deasupra (de jos) are o față exact superioară (exact inferioară). Indicați cu s = supfjP jg și apelați acest număr în spațiu
ï despre cifra figurii; numărul S = inf fjQjg este numit, respectiv,
din cifra.
Declarația 17.1.1. Zona interioară a figurii nu este mai mare decât suprafața exterioară:
s = supfjP jg inf fjQjg = S:
Dovada. Deoarece pentru orice poligoane P și Q inscripționate și descrise corespund cifrei. inegalitatea (17.1), atunci orice zonă jQj este limita superioară a setului fjP jg. atunci
s = supfjP jg jQj 8 Q;
deoarece cea mai mică limită superioară a setului este cea mai mică limită superioară a setului. din
(17.2) rezultă că s este infimul setului fjQjg și s inf inf fjQjg,
Cea mai mare limită inferioară a setului este cea mai mare dintre limitele sale inferioare. Astfel, afirmația este dovedită: s S.
Definiția 17.1 (Conceptul de pătrat din Iordania 3). O figură plană este numită cadmiu (sau având o suprafață) dacă suprafața exterioară S a acestei cifre coincide cu aria sa interioară s. Numărul S = S = s se numește aria figurinei.
Exemplul 17.1 (figura necoantizabilă). Luați în considerare o figură plat:
= f (x; y). 0 x 1; 0 y 1 + D (x) g;
unde D (x) a funcției Dirichlet: D (x) = 1 dacă x număr rațional, și D (x) = 0 dacă xchislo irațional.
După cum vedem din (17.3), pentru toate punctele din figura c, abscisa rațională x a ordinii y 2 [0; 2], în același timp, toate punctele din figura c cu abscisa irațională x au ordinul y 2 [0; 1]. Prin urmare, punctele din setul = f (x; y). 0 x 1; 1 y 2g sunt
limită. Întregul set de puncte de frontieră ale figurii (17.3) este marcat în albastru în figură. Printre aceste puncte sunt cele care aparțin (cele pentru care x este rațional) și nu aparțin
(cele pentru care x este irațional); Limita y = 0 aparține în mod evident.
Nu este greu de observat că aria maximă înscrisă într-un poligon este de 1,
2 Semestrul I, Curs 3.
3 Camille Jordan este matematician francez (1838 1922).
iar zona minimă circumscrisă în jurul poligonului este 2, adică s () = 1,
S () = 2. În conformitate cu definiția 17.1, figura (17.3) nu este patratică.
17.2. Criterii pentru pătrat
TEOREM 17.2.1. Pentru a Quadrature figura planul era necesar și suficient pentru orice număr pozitiv „ar putea indica un poligon circumscrie forme Q și o formă înscrisă în poligon P. diferență jQj jp zona j care ar fi fost mai puțin“. jQj jP j <" .
Dovada. Necesitate. Să presupunem că figura este patratică, adică s = S = S. Ca și cu
apoi, prin definiție, cel puțin limita superioară a setului JG FJP pentru orice număr „> 0 poate indica o formă înscrisă în poligon P. a cărui suprafață se deosebește de mai puțin de s“ = 2:
8 "> 0 9 P. jP j> s 2";
respectiv, așa cum sunt definite infimumul fjQjg setat la același număr „> 0 poate indica o formă de circumscriere poligon Q, care este diferită de zona de S este mai mică decât“ = 2:
9 Q. jQj
Adăugând inegalitățile obținute, găsim (luând în considerare egalitatea s = S)
8 "> 0 9 P; Q; P; Q. jQj jP j 0 9 P; Q; P; Q. jQj jP j <":
Având în vedere faptul că jP j S S jQj, avem
8 "> 0 0 S s jQj jP j <":
Din cauza arbitrarității, aceasta înseamnă că S s = 0. Astfel, cifra este patratică, iar teorema este dovedită.
Definiție 17.2. Vom spune că limita @ a unei figuri plane este de asemenea o latură. r u n u n u nulu. dacă pentru orice pozitiv „poate indica un poligon circumscris forme Q și o formă înscrisă în poligon P. pătrate diferență este mai mică decât“: jQj jp j <".
Teorema 17.2.1 poate fi formulată după cum urmează.
TEOREM 17.2.2. Pentru ca o cifră plană să fie patratică, este necesar și suficient ca e0 limita lui @ să aibă o zonă egală cu zero.
Dacă Q este un poligon luat împreună cu limita și care conține o figură plană. și P este poligonul conținut în figură. luată fără limită, atunci diferența de seturi Q n P este o figură poligonală luată împreună cu limita și conținând toate punctele limitei @ a figurii. Prin proprietatea de aditivitate a zonei unui poligon, egalitatea jQ nP j = jQj jP j, atunci teorema 17.2.1 poate fi de asemenea formulată după cum urmează.
Teorema 17.2.3. Pentru ca o figură plană să fie pătrată, este necesar și suficient ca limita e0 să poată fi plasată într-o figură poligonală a unei suprafețe mici, arbitrar.
Definiția 17.3. Setul de puncte în planul este numit m n o w e t c o m p o l o u și d și n y l b, în cazul în care este conținută în mogougolnoy FIG pătrat arbitrar mic.
LEMMA 17.2.4. Fiecare curbă rectificabilă are un domeniu zero.
Dovada. Fie L o curbă rectificabilă și lăsăm să fie lungimea ei. Împărțim această curbă cu n + 1 puncte în părți, lungimea fiecăruia fiind egală cu `= n. (Posibilitatea unei astfel de împărțiri este incontestabilă.) Să luăm fiecare dintre aceste n + 1 puncte ca centrul pătratului cu partea 2` = n. Unirea acestor pătrate este o figură poligonală descrisă în jurul curbei L, iar aria acestei cifre poligonale nu depășește
suma suprafețelor patratelor constituente, adică numărul