1. Probabilitatea totală
Matematicienii nu inventează noi modele - ei le descoperă. Răzbunarea de acest fel duce la faptul că lumea noastră este plină de regularități, iar vocația omului rațional este descoperirea lor. Este atrăgătoare să spunem despre acest lucru despre Einstein:
"Suntem ca un copil mic care a intrat într-o bibliotecă uriașă, zidurile cărora sunt aglomerate de cărți în limbi diferite până la tavan. Copilul înțelege că cineva a trebuit să scrie aceste cărți. Vedem că universul este aranjat uimitor, sub rezerva anumitor legi. "
În consecință, fiecare raționament științific trebuie să aibă o fundație pe care este construit. Baza teoremei lui Thomas Bayes este probabilitatea totală cu care, probabil, ar trebui să începem.
Să luăm în considerare un exemplu din cartea "Introducere elementară în teoria probabilităților" (BV Gnedenko, A.Ya. Khinchin).
Să presupunem că becurile electrice sunt produse la două instalații, dintre care prima furnizează 70%. și al doilea 30% din toate produsele consumate. Din fiecare o sută de becuri ale primei plante o medie de 83 standard (de bună calitate), și din o sută de becuri de la cea de-a doua plantă - doar 63 standard.
Folosim următoarea notație:
A - un bec de calitate standard;
- un bec de calitate nestandard;
Lampă E fabricată de prima fabrică;
- becul este fabricat de a doua fabrică.
Să găsim probabilitatea ca, la întâmplare, becul selectat să aibă o calitate corespunzătoare și să fie fabricat de a doua fabrică. Din această condiție este clar că a doua fabrică pentru fiecare 1000 produce 300 de becuri, dintre care 189 sunt standard; avem:
În mod similar, probabilitatea unei calități standard a unui bec, cu condiția să fie fabricată de prima fabrică:
Acum vom găsi probabilitatea necondiționată de a alege la întâmplare un bec selectat de calitate standard. Pentru a rezolva această problemă, trebuie să vă gândiți astfel. Presupunem că evenimentul M constă în faptul că becul este fabricat de prima fabrică și are o calitate standard; Evenimentul F constă în faptul că becul este eliberat de a doua fabrică și are o calitate standard. Evident, la întâmplare, becul selectat va fi fabricat fie de prima, fie de a doua plantă; în consecință, la testul specificat unul dintre cele două evenimente vine în mod necesar: M sau F. Să-l punem în limba matematică:
Conform regulii de adăugare, conform căreia probabilitatea apariției unuia dintre mai multe evenimente incompatibile este egală cu suma lor, găsim:
Apoi, trebuie să găsim cantitățile P (M) și P (F). Să o facem așa. Pentru M-eveniment necesar îndeplinirii acestor condiții: 1) Lumina produsă de prima (E) și 2), lumina standard de (A); punerea în aplicare a acestor condiții este necesară pentru producerea evenimentului și F. Dar, ca regulă de multiplicare afirmă că probabilitatea de co-apariție a două evenimente este produsul probabilitatea unui avans necondiționat al primului eveniment privind probabilitatea condiționată de-al doilea eveniment (presupunând că primul eveniment a avut deja loc), avem:
Înlocuind (2) și (3) în (1), obținem probabilitatea de apariție a evenimentului A pentru problema dată: