Teorema. (o teoremă cu dualitate mică)
Pentru existența unui plan optim pentru orice problemă dublă, este necesar și suficient ca să existe un plan admisibil pentru fiecare dintre ele.
§5. Baze de teoreme de dualitate
Dacă una dintre problemele duale are o soluție optimă, atunci cealaltă are o soluție optimă, iar valorile extreme ale funcțiilor obiective sunt:. Dacă una dintre problemele duale este insolubilă din cauza limitării funcției obiective asupra setului de soluții admisibile, atunci sistemul constrângerilor celeilalte probleme este contradictoriu.
Teorema. (pe non-rigiditate complementară)
Pentru ca planurile și perechile de probleme duale să fie optime, este necesar și suficient ca următoarele condiții să fie îndeplinite:
Condițiile (1), (2) sunt numite condiții pentru nonrigiditatea complementară. Din acestea rezultă: dacă orice restrângere a uneia dintre probleme la planul său optim se transformă într-o strictă inegalitate, atunci componenta corespunzătoare a planului optim al problemei duble trebuie să dispară; Dacă orice componentă a planului optim al uneia dintre probleme este pozitivă, atunci restricția corespunzătoare în problema dublă prin planul său optim trebuie să se transforme într-o egalitate strictă.
Punct de vedere economic, acest lucru înseamnă că, în cazul în care, pentru un plan de producție de consum optim i-lea de resurse este strict mai mică decât rezerva sa, planul optim de evaluare unitate dublă corespunzătoare este prima resursă este zero. Dacă, într-un plan de estimare optimă, componenta i este strict mai mare decât zero, atunci în planul optim de producție consumul resursei corespunzătoare este egal cu stocul său. Prin urmare, concluzia: evaluările duale pot servi drept o măsură a deficitului de resurse. O resursă redusă (utilizată pe deplin pentru un plan de producție optim) are o estimare pozitivă, iar o resursă surplus (folosită în totalitate) are o estimare zero.
Teorema (pe estimări). Estimările duale arată o creștere a funcției țintă cauzată de o mică modificare a termenului liber al restricției corespunzătoare a problemei de programare matematică, mai exact
§6. Exemple de probleme economice
5.1 Problema celei mai bune utilizări a resurselor. Să presupunem că o unitate de producție (magazin, fabrica, uniune-nenie și așa mai departe. D.), pe baza condițiilor pieței, a capacității tehnice și tehnologice și a resurselor disponibile, pot produce n diferite tipuri de produse (de exemplu, vars), cunoscute de numere denotată de indexul j. O vom desemna. Compania în producerea acestor tipuri de produse ar trebui să se limiteze tipurile de Chiva-disponibile de resurse, tehnologie, factori de producție Dru-GIH (materii prime, produse semifabricate, forta de munca, de echipamente, energie electrică, și așa mai departe. D.). Toți acești factori limitativi sunt numiți inferenți. Fie ca numărul lor să fie m; îi atribuim indexul i. Acestea sunt limitate, iar sumele lor sunt egale cu unitățile convenționale. Astfel, vectorul resurselor. beneficii economice cunoscute (o măsură a utilității) de producție al fiecărui tip, cuantificabil, să zicem, un prețurile termen de vacanță de mărfuri, rentabilitatea sa, costul de producție, gradul de satisfacere a nevoilor, și așa mai departe. D. În meme ca o astfel de măsură, de exemplu, prețul punerea în aplicare a
, adică vectorul prețului. Sunt cunoscuți și coeficienți tehnologici, care indică câte unități ale resursei i-le sunt necesare pentru producția celei de-a treia unități de produs. Matricea coeficienților se numește coeficientul tehnologic și este notată cu litera A. Avem. Să desemnați prin planul de producție care sunt tipurile de bunuri care trebuie produse și în ce cantități să furnizeze întreprinderii volumul maxim al vânzărilor cu resursele disponibile.
Deoarece - prețul de vânzare al unei unități de produs j'-a, prețul unităților realizate va fi egal, iar volumul total al vânzărilor
Această expresie este funcția obiectivă pe care trebuie să o maximizați.
Deoarece - consumul de resurse i-lea în unitățile de producție ale produsului-j-lea, apoi însumarea consumul de resurse i-lea în producția de toate tipurile de produse n, obținem consumul total al acestei resurse, care ar trebui să unități nu mai dit:
Pentru a implementa planul dorit, împreună cu restricțiile asupra resurselor, trebuie să se impună condiția de non-negativitate asupra volumelor de producție:
Astfel, modelul problemei celei mai bune utilizări a resurselor va lua forma: