Donetsk departamentul teritorial al Academiei de Științe din Ucraina
Donetsk școală de învățământ general І-ІІІstepeney №111
Departamentul fizico-matematic și economic
Sectiunea: Matematica aplicata
Panasyuk Vasily Anatolyevich
Donetsk Secundar №111
Kulish Lyudmila Nikolaevna
profesor de matematică, școala №111
Nevoia de numere fracționate a apărut ca urmare a activității umane practice. Necesitatea de a găsi fracțiuni ale unei unități a apărut de la strămoșii noștri în diviziunea de producție după vânătoare. Cel de-al doilea motiv important pentru apariția numerelor fracționare ar trebui să fie considerat măsurarea cantităților utilizând unitatea de măsură selectată.
Prima fracțiune, pe care oamenii l-au întâlnit. a fost jumătate. Deși numele tuturor fracțiunilor următoare sunt asociate cu numele numitorilor lor (trei - "al treilea", patru - "sfert" etc.), pentru jumătate din acest lucru nu este așa - numele său în toate limbile nu are nimic de a face cu cuvântul "doi". Următoarea fracțiune a fost a treia.
În acest fel. primul foc, care ne introduce în poveste, este o fracțiune din forma - - așa-numita fracțiune unică sau o porțiune (din alicotă Latină -. «câteva»).
fracțiunile individuale se găsesc în cele mai vechi texte existente matematice, compuse din mai mult de 5000 de ani - vechi papirus egiptean și tabletele cuneiforma babiloniene. Fracțiunea egipteană - în matematică suma mai multor fracțiuni de fel (așa-numitele alicote). Cu alte cuvinte, fiecare fracțiune din suma are un numărător. egal cu unitatea și numitorul. care este un număr natural.
Fracția egipteană este un număr pozitiv rațional de specii; de exemplu, fracțiunea egipteană. scrise mai sus, pot fi scrise sub forma unei fracții 43/48. Se poate arăta că fiecare număr rațional pozitiv poate fi reprezentat sub forma unei fracțiuni egiptene. Acest tip de sumă a fost folosit de matematicieni. ca o definiție, pentru fracțiuni din vremea Egiptului antic până în Evul Mediu.
Sarcini cu utilizarea de alicote în soluție constituie o clasă extinsă de probleme non-standard. Aceasta include, în primul rând, sarcinile în care doriți să împărțiți câteva resurse în mai multe părți, cu cea mai mică acțiune pentru acest lucru.
Scopul studiului:
Aflați ce alicote de importanță au în viața noastră
Obiectivele studiului:
Aflați originea alicoturilor.
Luați în considerare operațiile de bază cu alicote.
Pentru a crea și a rezolva probleme de conținut practic.
2. Partea principală.
Originea alicoturilor.
Subiectul "Fracțiuni alicot" este un subiect interesant pentru studiul fracțiunilor. Confruntat cu acest termen pentru prima dată, înțelegeți de ce în fracțiunile matematice "antice" din Egipt, fracțiunile "reale" considerau doar alicote.
Deci, toată fracțiunea egipteni a fost înregistrată ca suma acțiunilor. adică fracțiuni de forma 1 / n. De exemplu: 8/15 = 1/3 + 1/5. Fracțiunea 1 / n (unde n - număr natural)., Pe care egiptenii au favorizat în matematică moderne numite alicote (de la „unele latine aliguot-«») alicotele Aceasta este, de fracțiuni cu numărătorul fracției menționate 1. Și chiar și fracțiunile din proba de analizat sunt de multe ori a căutat să prezinte ca o sumă de alicoți mici de fracțiuni. de exemplu,
Astfel de fracțiuni au fost folosite împreună cu alte forme de înregistrare a fracțiunilor egiptene pentru a împărți "hekat", măsura principală a volumului din Egiptul antic, adică fracțiunile de coeficient au fost necesare pentru scopuri egiptene practice.
Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu. Luați în considerare această sarcină: "Împărțiți cele șapte pâini între 8 persoane".
Evident. toată lumea ar trebui să primească o pâine. Un elev școlar modern ar rezolva cel mai probabil problema astfel: trebuie să tăiem fiecare pâine în 8 părți egale și să dăm fiecărei persoane câte o bucată din fiecare pâine. Dar modul în care această problemă este rezolvată pe papirusul Rhind este un text matematic egiptean vechi rescris în jurul anului 1650 î.Hr. scria Ahmes.
Deoarece. Prin urmare, fiecare persoană ar trebui să primească jumătate, sfert și opt cesti de pâine. Acum este clar că trebuie să tăiați 4 pâine în jumătate, 2 pâine în 4 bucăți și doar o pâine - 8 bucăți. Și dacă studentul nostru a trebuit să facă 49 de tăieri, atunci Akhmesu - doar 17, adică Modul egiptean este de aproape 3 ori mai economic.
Dacă tăiați fiecare pâine în 8 bucăți, va trebui să faceți 49 de bucăți. Și în egiptean această problemă a fost rezolvată după cum urmează: 7/8 = 1/2 +1/4 +1/8. Prin urmare, fiecare persoană să dea o jumătate de kilogram. un sfert de pâine și opt uncii de pâine. Va fi necesar să faceți de aproape trei ori mai puține incizii.
Fracțiile egiptene au continuat să fie folosite în Grecia antică și mai târziu de către matematicieni din întreaga lume până în Evul Mediu, în ciuda remarcărilor matematicienilor antice. De exemplu, Claudius Ptolemeu a vorbit despre inconvenientele utilizării fracțiilor egiptene în comparație cu sistemul babilonian (sistemul de poziționare a calculului)
Important de lucru privind studiul fracțiilor egiptene au avut un matematician Fibonacci al secolului al XIII-lea, în lucrarea sa «Liber Abaci» - acest calcul, folosind zecimale și fracții ordinare, în cele din urmă fracțiune egiptean înlocuit. Fibonacci a folosit o înregistrare complexă a fracțiilor, care includea înregistrarea numerelor cu o bază mixtă și o înregistrare sub formă de fracțiuni, iar fracțiile egiptene erau adesea folosite. De asemenea, în cartea au fost date algoritmi de traducere din fracții obișnuite în egiptene.
2.2 Operațiuni de bază privind alicote
Pentru a reprezenta orice număr sub forma unei sume de alicote, uneori trebuie să exersați. invenție excepțională. De exemplu, numărul 2/43 este exprimat după cum urmează: 2/43 = 1/42 +1/86 +1/129 + 1 / 301.Proizvodit operații aritmetice cu numere, afișarea lor în suma fracțiunilor unitare, foarte inconfortabil.
Prin urmare, în procesul de rezolvare a problemelor de descompunere a alicoturilor sub forma unei părți de alicoturi mai mici, a apărut ideea de a sistematiza extinderea fracțiunilor sub forma unei formule. Această formulă funcționează dacă doriți să descompuneți un alicot în două alicote.
Formula este după cum urmează:
Exemple de extindere a fracțiunilor:
Dar dacă transformăm formula noastră, obținem următoarea egalitate utilă:
Ie o fracțiune alicotă poate fi reprezentată de diferența de două alicote sau de diferența a două părți alicote ale căror numere sunt numere consecutive egale cu produsul lor.
Să ne întoarcem la formulă și să dovedim această egalitate:
(n + 1) / ((n + 1) * n) după abreviere, obținem:
Deci, se pare că 1 / n = 1 / n. Formula noastră este corectă.
Dar vom merge mai departe și, pe baza diferenței de alicote, vom rezolva, la prima vedere, o sarcină dificilă pentru o persoană obișnuită:
Folosim formula noastră pentru descompunerea unei fracții alicot sub forma unei diferențe:
1/20 = 1 / (4 * 5) = 1 / 4-1 / 5 și așa mai departe.
Înlocuind expresiile deja descompuse în exemplul nostru, obținem:
Am prezentat formula ca fiind convenabilă în descompunerea unui alicot în 2 termeni. Când se descompune 1 în doi termeni, obținem:
1 = 1/2 + 1/2 (formula noastră funcționează!). Pentru a descompune 1 în 3 termeni. luăm un alicot și, conform formulei, îl descompunem în două alicote:
Pentru a împărți în 4 termeni. divizăm încă o fracțiune în două părți alicote:
Pe 5 termeni: 1/6 = 1/7 + 1/42 => 1 = 1/2 + 1/4 + 1/12 + 1/7 + 1/42.
2.3.1 Pentru a reprezenta numărul 1 ca sumele diferitelor alicote
A) trei termeni
B) patru termeni
Pentru a afla în ce an în Donetsk Campionatul European de Fotbal va avea loc, aveți nevoie de o sumă de alicote
În acest fel. când am dezvoltat acest subiect, am aflat că primele fracțiuni pe care oamenii le-au operat erau alicote. Ei au descoperit că fiecare număr rațional al formei a / b poate fi descompus în fracțiuni unice.
Problemele care utilizează alicote sunt o clasă extinsă de probleme non-standard. Fragmentele sunt folosite atunci când aveți nevoie să împărțiți ceva în mai multe părți cu cea mai mică cantitate de acțiune pentru a face acest lucru.
Descompunerea fracțiunilor în două alicote a fost sistematizată sub forma unei formule. care a rezolvat cu ușurință problemele de olimpiadă din matematică din anii diferiți.
După ce am rezolvat problema descompunerii alicotelor în două alicote, am ajuns la concluzia că descompunerea în trei, patru, cinci, etc. alicoturile pot fi făcute prin extinderea unuia dintre termeni în două fracții, următorul termen adăugându-se la două alicote și așa mai departe.
În acest fel. alicote (cu numerotatorul 1) pentru o lungă perioadă de timp au fost singurele fracții. care într-un fel știau cum să opereze, iar regulile de acțiune cu fracțiuni arbitrare au fost dezvoltate "relativ recent".
În matematica modernă, în locul fracțiilor egiptene, se utilizează fracții simple și zecimale. Cu toate acestea, fracțiile egiptene continuă să fie studiate în teoria numerelor și în istoria matematicii.
În viitor, vreau să investighez alicotele din divizie, iar când se înmulțește, cred că alicotele vor funcționa întotdeauna. Și acest lucru este evident.