Considerăm două reprezentări ale polinomului divizării unui cerc sub forma unui produs cu factori ireductibili:
pe un câmp de elemente - câmpul de expansiune al unui polinom:
În prima expansiune sunt polinomi care sunt ireductibili în inel. în al doilea, toți factorii de gradul întâi, unul pentru fiecare element non-zero al câmpului. O comparație a reprezentărilor (3) și (4) arată că fiecare element nenul al câmpului este o rădăcină a unuia dintre polinoame.
Definiția. Să fie un câmp de elemente și. Polinomul celui mai mic grad. astfel încât. se numește polinomul minim al elementului.
Este ușor de verificat faptul că toate polinomii minime cu elemente non-zero sunt reprezentate în expansiune (3). Polinomul minim de zero este simplu.
Următoarea teoremă oferă o descriere completă a multiplicatorilor în expansiunea (3) și deci a tuturor polinoamelor minime ale elementelor unui câmp finit.
Teorema 2. Un polinom ireductibil de grad. (), este un divizor al polinomului divizării cercului
dacă și numai dacă se împarte.
Astfel, divizoarele ireductibile ale polinomului divizării unui cerc sunt toate polinomii ireductibili de toate puterile divizoare ale unui număr.
De exemplu, în (2) este dată descompunerea polinomului de divizare a cercului c. . în acest caz rezultă din teorema că există un polinom ireductibil de gradul al doilea în inel și trei polinoame de gradul al patrulea, ele apar în expansiune (2).
Pentru a demonstra teorema, avem nevoie de două fapte auxiliare.
Lemma 1. Un polinom este un divizor al unui polinom dacă și numai dacă.
Acest fapt este valabil pentru polinomii peste orice domeniu. De fapt, în orice domeniu avem formula
(trebuie doar să deschideți parantezele din partea stângă). Să presupunem că este împărțită prin. . Înlocuirea expresiei din (5). avem
Dacă nu este partajat de către. ().
adică atunci când se divide polinomii, se obține restul. nu egal cu zero, deoarece.
Corolar. Un număr este un divizor număr dacă și numai dacă.
Acest lucru rezultă din formulele (6) și (7), în care este necesar să se înlocuiască cu.
Având în vedere noțiunea de caracteristică de teren de mai sus, am introdus conceptul de subcâmp - o colecție de elemente care ele însele formează un câmp în ceea ce privește operațiile din domeniul ambiental, dacă - domeniul caracteristicilor. atunci acesta conține un subcâmp simplu. care vor fi incluse în orice alt subcâmp.
Lemma 2. Dacă este un câmp de elemente, a este subdomeniul de elemente, atunci.
Dovada. Prin teorema 1, există un element de ordine în domeniu. Deoarece, pe de altă parte. ordinea elementului trebuie împărțită. Prin corolarul lui Lemma 1, acest lucru este posibil numai dacă.
Dovada teoremei 2.
Fie un polinom ireductibil de grad și divizare. Urmând metoda generală de construire a câmpurilor, construim un câmp. . Se compune din 0 și elementele care sunt rădăcinile polinomului. În consecință, polinomii u au o rădăcină comună. și de vreme ce este ireductibilă. Deci, cum. atunci. Aici.
Fie un divizor ireductibil al gradului de polinom. Luați în considerare un domeniu de elemente. Prin corolarul Teoremei 3 pe un element primitiv, câmpul elementelor este câmpul de divizare a unui polinom. deci are o rădăcină. Câmpul împreună cu elementul conține întregul câmp. Astfel, câmpul () conține un subcâmp. constând din elemente. Prin Lemma 2, acest lucru este posibil numai dacă. Teorema este dovedită.
LECTURĂ 12
Unicitatea unui câmp finit. Numărul polinomilor ireductibili în