Determinantul matricei (determinantul matricei) este o tabelă pătrată de numere sau simboluri matematice (δd).
Definiția. Determinantul lui n × n este numărul:
unde (α1, α2, αn) este o permutare a numerelor de la 1 la n. N (α1, αn α2.) - numărul de inversiuni din permutare, sumarea este peste toate permutările de ordinul n probabile.
Factorul determinant al matricei A este în general denotat ca de t (A), | A |. fie? (A).
Proprietățile determinantului unei matrice.
Proprietățile determinantului matricei sunt parametrii prin care se găsește soluția tuturor tipurilor de matrici algebrice.
- Determinantul matricei de identitate este egal cu o unitate: det (E) = 1.
- Determinantul matricei, în cazul în care cele două rânduri (coloane) sunt egale unul cu altul, va fi zero.
- Determinantul matricei, în cazul în care două rânduri (coloane) sunt proporționale unul cu celălalt, va fi, de asemenea, zero.
- Determinantul unei matrice care conține un rând (coloană) cu un zer este zero.
- Determinantul unei matrici cu două sau mai multe rânduri (coloane) dependente liniar între ele este de asemenea egal cu zero.
- Dacă efectuăm transpunerea, valoarea determinantului matricei nu se schimbă de la aceasta: det (A) = det (A T)
- Determinant al matricei inverse. det (A-1) = det (A) -1
- Determinantul matricei va fi aceeași chiar dacă oricare liniei sale (coloana) pentru a adăuga un alt rând (coloană), înainte de a fi înmulțit cu orice număr.
- Determinantul matricei nu va fi modificat dacă o combinație liniară de alte rânduri (coloane) este adăugată la orice rând (coloană).
- Atunci când două locații (coloane) ale unei matrice sunt schimbate, determinantul matricei primește semnul opus.
- Factorul comun într-un rând (coloană) este ușor de extras dincolo de semnul determinantului:
- Înmulțind matricea pătrată de ordinul n-lea de către orice număr nu este egal cu zero, atunci determinantul matricei produsului final va fi egal cu determinantul matricei dată inițial la numărul de gradul n. B = k · A => det (B) = k n · det (A), unde A este matricea n × n. k este un număr.
- Cu condiția ca fiecare element al fiecărui rând al determinantului este suma 2 termeni, determinantul inițial este egal cu suma de 2 factori determinanți, în cazul în care în locul liniei substituit primul și termenii a doua, respectiv, iar liniile rămase coincid cu determinantul inițial:
- Factorul determinant al matricei triunghiulare superioare (inferioare) corespunde produsului elementelor diagonale.
- Determinantul produsului matricilor va corespunde produsului determinanților acestor matrici: det (A · B) = det (A) · det (B).
Găsiți determinantul matricei.
Pentru a găsi determinantul unei matrice, este necesar să cunoaștem proprietățile de bază ale matricelor și succesiunea acțiunilor de rezolvare a matricei.
- Pentru matricele de ordin n = 2, determinantul se găsește utilizând formula: δ = a11 * a22 -a12 * a21
- Pentru matricele de ordin n = 3, determinantul se găsește prin complementare algebrice sau prin metoda lui Sarryus.
- Matricea cu dimensiunea> 3 se descompune în complementare algebrice, pentru care există determinanți (minori). De exemplu, determinantul unei matrice de ordinul patru este calculat prin extinderea în rânduri sau coloane.
Pentru a găsi determinantul matricei. care conține funcții în matrice, se utilizează metode standard. De exemplu, pentru a găsi determinantul unei matrice de ordine a treia:
Utilizăm extinderea pe prima linie:
δ = sin (x) x [cos (x) x 2 - 0 x tg (x)] + 1 × [1 × 0-2 × cos (x)] = 2sin (x) cos (x) - 2cos (x ) = păcat (2x) - 2cos (x)
Calculați determinantul matricei.
Calculați determinantul matricei prin mai multe metode, care vor fi enumerate mai jos.
Cel mai popular mod de a calcula determinantul unei matrice este metoda de selecție a cofactori. Există o versiune mai simplă a acestei metode - calculul determinantului folosind regula Sarsus. Aceste metode diferă în calcularea determinantului unei matrice simplă puțin, și, dacă doriți să calculeze matricea de dimensiuni mari, atunci pot fi utilizate astfel de metode pentru a calcula determinantul matricei:
- calcularea determinantului prin metoda de scădere a ordinului,
- calculul determinantului prin metoda Gauss (prin reducerea matricei într-o formă triunghiulară),
- calculul determinantului prin metoda de descompunere.
În Excel, funcția = MOPRED (intervalul celular) este utilizată pentru a calcula determinantul.