Teoria probabilității și a statisticilor matematice

Estimarea matematică a distribuției binomiale este mai ușor de calculat prin formula (4.4) M (X) = np = 3 # 8729; 0.3 = 0.9. dispersare # 963; 2 = D (X) = npq = 3 # 8729; 0,3 # 8729; 0,7 = 0,63. Să construim graficul de distribuție (Figura 4.1).

Pentru m = 1 (vezi Figura 4.1) probabilitatea atinge o valoare maximă. Cea mai frecventă frecvență de apariție este frecvența la care probabilitatea atinge cea mai mare valoare și este notată cu m 0. Pentru a determina numărul cel mai probabil, vom folosi formula:

În această inegalitate, m 0 poate fi doar un număr întreg. Dacă n este un număr întreg, atunci m 0 = pr.

Exemplul 4.5. Probabilitatea plății cecului emise de vânzător este de 0,9. Care este cel mai probabil număr de controale care trebuie plătite dacă se eliberează 40 de cecuri?

Soluția. Determinăm că produsul n = 40 # 8729; 0,9 = 36 (întreg), prin urmare, m 0 = 36. găsim m 0 prin formula (4.9) 40 # 8729; 0,9-0,1 ≤ t 0 ≤ 40 # 8729, 0,9 + 0,9; 35,9 ≤ m 0 ≥ 36,9. Această dublă inegalitate este satisfăcută de un număr întreg m 0 = 36.

4.5. Distribuție Poisson

distribuție Poisson (legea de distribuție a evenimentelor rare) este adesea utilizat atunci când avem de-a face cu o serie de evenimente care au loc în intervalul de timp sau spațiu (numărul de mașini care ajung la o spalatorie auto pentru o oră, numărul de defecte în noul segment de autostradă, la 10 km lungime, numărul de locuri scurgeri de apă pe 100 km de conducte de apă, număr de opriri pe săptămână, număr de accidente rutiere).

Dacă probabilitatea de apariție a evenimentului A în n studiile independente separate este foarte mică (p

unde # 955; = pr; n este numărul de încercări independente cu o probabilitate constantă mică p; e este baza logaritmului natural (e = 2.71828); m este numărul de apariții ale evenimentului (m = 0, 1, 2, 3).

Folosind formula (4.10), putem scrie Legea distribuției Poisson. Ea poate fi scrisă sub forma unei serii de distribuții (Tabelul 4.6) dacă, dându-se m valori întregi non-negative m = 0, 1, 2. n, se calculează probabilitățile corespunzătoare Pn,

Legea distribuției Poisson

Legea distribuției Poisson poate fi scrisă sub forma unei funcții de distribuție: # 955; ke- # 955; / k!

unde semnul denumește suma probabilităților Pn, m pentru toate m mai mică decât n.

Aplicând formula (4.11), putem determina probabilitatea apariției evenimentului cel puțin o dată în n studiile independente. Deoarece probabilitățile Pn, m ≥ 1 și Pn, 0 sunt probabilitățile evenimentelor opuse, atunci

Formula (4.12) se calculează probabilitățile de apariție a evenimentului cel puțin o dată în studii independente n, în cazul în care probabilitatea de apariție a unui eveniment în testele individuale constantă și foarte mici, iar numărul de încercări este suficient de mare (n ≥ 20), t. E. Cu condiția Poisson formula aplicabilitate (4.10).

Asteptarile matematice si variatia unei variabile aleatoare distribuite conform legii lui Poisson coincid si sunt egale cu parametrul # 955 care determina aceasta lege, e.

Formula (4.13) stabilește o semnificație teoretico-probabilistică importantă a parametrului # 955; Secvența de evenimente care apar la momente aleatorii ale timpului este denumită fluxul evenimentului (de exemplu, un apel pe PBX).

Următoarele condiții trebuie îndeplinite.

Probabilitatea apariției unui eveniment este aceeași pentru oricare două intervale de lungime egală.

Probabilitatea ca un eveniment să apară într-un interval scurt de timp (sau spațiu) este proporțional cu amploarea intervalului.

Într-un interval foarte scurt, probabilitatea ca două evenimente să apară este aproape de zero.

Probabilitatea ca orice număr de evenimente să apară în intervalul nu depinde de începutul intervalului.

Apariția sau non-apariția unui eveniment într-un anumit interval nu depinde de apariția sau non-apariția unui eveniment în orice alt interval.

Exemplul 4.6. Să presupunem că suntem interesați de numărul de colectori care sosesc dimineața cu mașina la bancă în 15 minute. Dacă presupunem că probabilitatea de sosire a vehiculului este aceeași în oricare două perioade de lungime egală de timp și de sosire sau non-sosire a vehiculului, la un moment dat nu depinde de sosirea sau non-sosire în orice alt moment, colectorii de secvență stau în banca poate fi descrisă prin distribuția Poisson.

Analiza datelor anterioare a arătat că numărul mediu de colectori care sosesc în perioada de 15 minute este de 10, apoi la # 955; = 10 obținem: P (m) = # 955; me - # 955; / m! = 10me-10 / m. pentru m = 0, 1, 2. ...

Dacă vrem să știm probabilitatea de sosire a cinci colectori în 15 minute, atunci pentru m = 5 primim: P (5) = 105e-10/5! = 0,0378.

Probabilitățile distribuției Poisson sunt mai ușor de calculat folosind tabele speciale de probabilități de distribuție Poisson. Acestea conțin valorile probabilităților pentru m și # 955;

Exemplul 4.7. Să presupunem că suntem interesați de numărul de defecte care au apărut pe o anumită secțiune a autostrăzii la o lună după asfaltare. Presupunem că probabilitatea apariției defectelor este aceeași pe oricare două secțiuni cu o lungime egală și că apariția sau absența defectelor în orice interval de autostradă nu depinde de apariția defectelor pe orice alt loc. Prin urmare, distribuția Poisson poate fi utilizată pentru a rezolva problema.

Să presupunem că am constatat că numărul de defecte după o lună după pavaj este în medie egal cu două pe kilometru. Să găsim probabilitatea ca într-o anumită secțiune a unei autostrăzi de 3 km lungime să nu găsim un singur defect la o lună după asfaltare. Deoarece suntem interesați de un interval de 3 km în lungime, # 955; = (2 def / km); (3 km) = 6.

Acesta este numărul așteptat de defecte pe o lungime de trei kilometri de autostradă. Prin urmare, folosind tabelele de distribuție formula (4.10) sau Poisson cu # 955; = 6 și m = 0, obținem probabilitatea de absență
defectele pe trei kilometri ale drumului sunt 0,0025. Rezultatul arată că lipsa defectelor din secțiunea studiată a drumului este foarte puțin probabilă. Probabilitatea ca cel puțin un defect să apară din nou pe un kilometru al unui drum asfalt este 1-0.0025 = 0.9975.

Să luăm în considerare un exemplu. în care probabilitățile vor fi calculate exact prin formula lui Bernoulli (4.1) și aproximativ prin formula lui Poisson (4.10).

Exemplul 4.8. Au fost efectuate 25 de teste independente cu probabilitatea apariției evenimentului A în fiecare dintre acestea de 0,01. Construim o serie de distribuții pentru variabila aleatoare X = m - numărul de apariții ale evenimentului A. Probabilitatea Pn, m este calculată în două moduri: prin formula Bernoulli și prin formula lui Poisson. Rezultatele obținute sunt comparabile și estimăm erorile formulei aproximative. Prin condiția n = 25; p = 0,01; q = 0,99. Calculăm Pn, m și le reducem la Tabel. 4. 7.

Compararea probabilităților obținute prin formule

Bernoulli și Poisson

O comparație a probabilităților arată că probabilitățile calculate conform formulei Poisson coincid aproape cu valorile calculate de formula Bernoulli. Eroarea maximă în rezultatele calculate prin formula lui Poisson este 0,002.

4.6. Distribuția hipergeometrică

Mai sus, am considerat metode de calcul al probabilităților de apariție a unui eveniment exact ori în n teste independente repetate (folosind formulele Bernoulli și Poisson). Acum, să ne familiarizăm cu calculul probabilității apariției unui eveniment exact t ori în teste de repetare n dependente. O variabilă aleatorie care determină numărul de succese în studiile dependente repetate este supusă legii distribuției hipergeometrice.

Exemplul 4.9. În urnă există bile N, printre care K alb și (N-K) negru. Fără return, n bilele sunt extrase. Să determinăm probabilitatea ca în eșantionul de mingi n să existe bile m alb (și, respectiv, n-m negru). Descriim situația din diagrama:

O variabilă aleatorie de interes pentru noi, X = m este numărul de bile albe dintr-o probă cu un volum de n bile. Numărul tuturor cazurilor posibile de selecție n bile din N este numărul de combinații de N de n (cnn), iar numărul de selecție de cazuri m bile albe disponibile pentru bilele albe (și, prin urmare, n-m bile negre de N-K disponibil negru) egal cu produsul CKmCN-Kn-m (selecția fiecăruia dintre bilele m albe poate fi combinată cu selectarea oricărei bile negre n-a). Evenimentul a cărui probabilitate dorim să determinăm este că există exact m bile albe în proba n bile. Conform formulei pentru probabilitatea unui eveniment în modelul clasic, probabilitatea de obținere a eșantionului m bile albe (t. E. Probabilitatea ca variabila aleatoare X ia valoarea t) este egală cu

unde CNn este numărul total al tuturor rezultatelor posibile, la fel de probabile și inconsistente, CKmCN-Kn-m este numărul de rezultate care favorizează evenimentul de interes pentru noi.

Astfel, probabilitatea apariției evenimentului care ne interesează exact t ori în studiile dependente de n este calculată din formula (4.14), care specifică valorile legii de distribuție hipergeometrică pentru m = 0, 1, 2. n (Tabelul 4.8).

Dreptul distribuției hipergeometrice

Exemplul 4.10. Circulația împrumutului monetar câștigător este emisă, în care sunt emise obligațiuni N, dintre care K sunt obligațiuni câștigătoare. Cineva a cumpărat obligațiuni. Să găsim probabilitatea ca cei doi să câștige.

Argumentând conform schemei de mai sus, conform formulei (4.14), obținem probabilitatea câștigului de interes pentru cumpărătorul de obligațiuni.

Exemplul 4.11. Automobilele intră în salon din fabrică în loturi de câte 10 bucăți fiecare. Prin acordul părților, numai 5 din 10 autoturisme sunt supuse unui control al calității și siguranței pentru a economisi timp și resurse în zona de vânzare. De obicei, 2 din 10 mașini primite nu îndeplinesc standardele de calitate. Vom determina care este probabilitatea ca cel puțin una dintre cele 5 mașini care vor fi verificate să fie respinsă.

Soluția. Aici există o probă fără întoarcere, prin urmare, variabila aleatoare - numărul de mașini defecte - este supusă distribuției hipergeometrice: N = 10, K = 2,
N-K = 8 și n = 5, m = 1, 2.

Exemplul 4.13. Din 20 de bilete de loterie, câștigătorii sunt 4. 4. 4 bilete sunt preluate. necesită:

1) să construiască legea de distribuire a numărului de bilete câștigătoare printre cele selectate;

2) construirea unei distribuții binomiale a biletelor câștigătoare, pentru p = 0,2, n = 4;

3) se compară rezultatele soluției din exemplele 4.12 și 4.13.

1. Cu condiția problemei, N = 20, K = 4, n = 4. Cu ajutorul formulei 4.14 se calculează probabilitățile P 4, m (m = 0, 1, 2, 3, 4) și se construiește o distribuție hipergeometrică (Tabelul 4.11) :

Distribuția hipergeometrică

2. Cu condiția problemei n = 4; pentru o valoare constantă de probabilitate p, luăm ponderea câștigurilor: p = 4/20 = 0,2; q = 16/20 = 0,8. Folosind formula Bernoulli, se calculează probabilitățile pentru toate valorile posibile ale lui m (0, 1, 2, 3, 4) și se construiește legea distribuției binomiale (Tabelul 4.12)