La fel ca orice inel, câmpul este un grup referitor la operația de adăugare. Toate elementele câmpului care nu sunt egale cu zero formează un grup cu privire la funcționarea multiplicării. De fapt, în cazul în care un ≠ 0 și b ≠ 0, atunci ecuația ax = b are o soluție q ≠ 0, t. Pentru a. A · 0 = 0 ≠ b (a se vedea. Teorema 1). Prin urmare, proprietățile de multiplicare W, V (a se vedea definiția 1) și VII dovedesc afirmația noastră. Grupul pentru adăugarea tuturor elementelor câmpului se numește aditiv. și grupul de multiplicare a tuturor elementelor sale, altul decât zero, de către grupul multiplicator al câmpului. Câmpul este determinat în întregime de atribuirea acestor două grupuri, prin atribuirea produselor zero la toate elementele și cerința legii distributive pentru oricare dintre elementele sale, inclusiv zero. Rezultă acum că produsul oricărui element dispare (a se vedea teorema 1).
Din proprietățile grupului multiplicativ (vezi Teorema 1) rezultă că există o unitate în câmp, adică un element e. că ae = ea = o pentru toți o în P. De fapt, pentru un ≠ 0 rezultă din proprietățile identității și pentru a = 0 - datorită proprietăților zero, atunci când este multiplicată. Mai mult, pentru orice a ≠ 0 există o inversă a -1 astfel încât aa -1 = a -1 a = e. În acest caz, identitatea e și elementul invers a -1 pentru un anumit a sunt determinate în mod unic.
Dacă există o unitate în ring, atunci numai una, deoarece dacă e1 și e2 sunt unități, atunci e1 = e1e2 = e2. Dacă există un element invers pentru un element a unui inel cu unitate, atunci numai unul, deoarece b și c sunt elemente inverse pentru a. apoi b = bac = c.
Dar, într-un inel cu o unitate, nu pot exista elemente inverse, cum ar fi, de exemplu, în ringul de întregi. Există, de asemenea, inele fără unitate, cum ar fi, de exemplu, inelul cu numere pariale sau inelul de multipli multipli de n> 1.
Dacă există o unitate e ≠ 0 în inelul R și pentru fiecare a ≠ 0 există un element invers a -1. atunci elementele inelului altele decât zero formează un grup prin înmulțire (grup) și, prin urmare, inelul R este un câmp.
Deoarece grupul de câmp multiplicator este comutativ, multiplicarea are o operație inversă divizată. În acest caz, coeficientul este determinat în mod unic pentru orice a. nu egal cu zero și orice b. Pentru b ≠ 0 rezultă din proprietățile grupului multiplicativ de câmpuri (grup) și b = 0, avem, ca · 0 = 0. Cerința suplimentară a ≠ 0, incluse în proprietate VII sparge proprietățile de simetrie ale adăugării de câmp și multiplicare. Pentru a renunța la această cerință și a restabili astfel această simetrie, este totuși imposibilă. De fapt, ecuația ax = b pentru a = 0 și b ≠ 0 nu are o soluție în câmp sau chiar într-un inel care conține elemente altele decât zero. Într-adevăr, dacă q este o soluție a acestei ecuații, atunci aq = 0 · q = 0 = b. acest lucru este imposibil. Prin urmare, divizarea prin zero este imposibilă dacă dividendul este diferit de zero. Un coeficient poate fi egal cu orice element al unui inel, deoarece pentru orice q avem: 0 ≠ q = 0.