Oamenii de știință cred că matematicianul rus, 38 de ani, Grigory Perelman, a propus soluția corectă a problemei Poincaré. Despre acest lucru la festivalul științific din Exeter (Marea Britanie), a declarat profesorul de matematică al Universității Stanford, Keith Devlin.
Problema (numită și o problemă sau ipoteză) a lui Poincare este una dintre cele șapte probleme matematice cele mai importante, pentru fiecare dintre acestea Institutul de Matematică Clay a acordat un premiu de un milion de dolari. Asta a atras atât de mult atenția asupra rezultatelor obținute de Grigory Perelman, angajat al Laboratorului de Fizică Matematică al Departamentului de la St. Petersburg al Institutului de Matematică Steklov.
Problema Poincare
Problema Poincaré aparține domeniului așa-numitei topologii a varietăților - o modalitate specială de aranjare a spațiilor de dimensiuni diferite. Dispozitivele bidimensionale pot fi vizualizate, de exemplu, prin exemplul suprafeței corpurilor tridimensionale - sfera (suprafața unei sfere) sau torusul (suprafața unei gogoși).
Este ușor să vă imaginați ce se va întâmpla cu un balon dacă este deformat (îndoiți, răsuciți, trageți, stoarceți, stoarceți, eliminați sau înfruntați). În mod evident, pentru toate deformațiile enumerate mai sus, mingea își va schimba forma într-o gamă largă. Cu toate acestea, nu putem niciodată transforma o minge într-un geam (sau invers), fără a deranja continuitatea suprafeței sale, adică fără a se rupe. În acest caz, topologii spun că sfera (mingea) nu este homeomorfă pentru torus (gogoasa). Aceasta înseamnă că datele de suprafață nu pot fi afișate unul pe altul. În termeni simpli, sfera și torusul sunt diferite în proprietățile lor topologice. Și suprafața balonului cu toate deformările sale posibile este homeomorfă sferei, la fel cum suprafața cercului de salvare este torus. Cu alte cuvinte, orice suprafață bidimensională închisă care nu are găuri străpunse are aceleași proprietăți topologice ca sfera bidimensională.
Topologiei, o ramură a matematicii, a studiat proprietățile figuri (sau spații) sunt stocate în deformări continue, cum ar fi tensiunea, compresiune sau îndoire. deformare continuă - această formă de deformare, în care nu există nici o discontinuitate (adică încălcări ale cifrelor de integritate) sau un adeziv (adică, identificarea punctelor sale).
transformări topologice de la o formă geometrică la alta - există reprezentarea unui punct P de pe primul punct R` formă altă formă care satisface următoarele condiții: 1) fiecare punct P al primului model ar trebui să corespundă unul și numai un singur punct R` doua formă și vice-versa; 2) Maparea trebuie să fie reciproc continuă. De exemplu, există două puncte P și N care aparțin unei singure figuri. Dacă distanța dintre ele tinde la zero atunci când punctul P se deplasează la punctul N, atunci distanța dintre punctele P 'și N' ale celeilalte figuri trebuie de asemenea să tindă la zero și invers.
Homeomorphism. Figurile geometrice care trec peste ele în cadrul transformărilor topologice se consideră a fi homeomorfe. Cercul și limita de pătrat homeomorf, deoarece acestea pot fi transformate în fiecare alte transformări topologică (adică îndoire și întindere fără spargere sau lipire, de exemplu, se întinde o frontieră pătrat și un cerc descris în jurul acestuia). Zona în care orice simplu închis (adică homeomorf cerc) Curba poate fi contractat până la un punct, rămânând tot timpul în această regiune se numește pur și simplu conectat și regiunea corespunzătoare caracteristică - este pur și simplu conectat. În cazul în care o curbă simplă închisă, această zonă nu poate fi contractat până la un punct, rămânând în permanență în acest domeniu, zona se numește multiplica, iar suprafața corespunzătoare a proprietății - o multiplica.
Problema Poincaré afirmă același lucru și pentru manifoldurile tridimensionale (pentru manifolduri bidimensionale, cum ar fi o sferă, această poziție a fost dovedită în secolul al XIX-lea). Ca matematician francez a menționat, una dintre cele mai importante proprietăți ale unei sfere bidimensional este că orice buclă închisă (de exemplu, lasso) situată pe ea poate fi contractat într-un singur punct, fără a părăsi suprafața. Pentru torus, acest lucru nu este întotdeauna adevărat: o buclă care trece prin gaura sa este atrasă într-un punct, fie la ruperea torusului, fie la ruperea buclei. În 1904, Poincaré a sugerat că, dacă o buclă poate contracta un punct pe o suprafață tridimensională închisă, atunci o astfel de suprafață este homeomorfă unei sfere tridimensionale. Dovada acestei ipoteze sa dovedit a fi o sarcină extrem de dificilă.
Imediat clar: am menționat problema Poincaré nu vorbește despre minge tri-dimensionale, pe care ne putem imagina fără dificultate, dar sfera tridimensională, adică, pe suprafața sferei patru dimensiuni, care este de a imagina este mult mai dificil. Dar, la sfârșitul anilor 1950, a devenit clar că a fost mult mai ușor să lucrezi cu soiuri de dimensiuni mai mari decât cele cu trei și patru dimensiuni. Evident, lipsa de vizibilitate nu este în nici un caz principala dificultate cu care se confruntă matematicienii în studiile lor.
Experții cred că rezolvarea problemei Poincare va face posibilă realizarea unui pas serios în descrierea matematică a proceselor fizice în obiecte complexe tridimensionale și va da un nou impuls dezvoltării topologiei computerelor. Metoda propusă de Grigory Perelman va conduce la descoperirea unei noi direcții în geometrie și topologie. Un matematician din Petersburg se poate califica pentru Premiile Fields (un analog al premiului Nobel, care nu este acordat în matematică).
Aparent, pentru Grigory Perelman, ca și pentru un om de știință real, banii nu sunt principalul lucru. Pentru a rezolva oricare dintre așa-numitele "provocări ale mileniului", un adevărat matematician va vinde sufletul diavolului.
Lista Mileniului
IULIE ANRI POUNCARE. Fotografie de la www.ibmh.msk.su
1. Problema lui Cook (formulată în 1971)
Să spunem că atunci când vă aflați într-o companie mare, doriți să vă asigurați că și prietenul dvs. este acolo. Dacă vi se spune că se află într-un colț, atunci va fi o fracțiune de secundă pentru a privi adevărul informațiilor. În absența acestor informații, veți fi forțați să mergeți în jurul întregii camere, având în vedere oaspeții. Acest lucru sugerează că rezolvarea unei probleme durează adesea mai mult decât verificarea corectitudinii soluției.
DAVID GILBERT. Fotografie de pe site-ul www.krugosvet.ru
Stephen Cook a formulat problema: verificarea corectitudinii soluției problemei poate fi mai lungă decât soluția în sine, indiferent de algoritmul de verificare. Această problemă este, de asemenea, una dintre problemele nerezolvate în domeniul logicii și informaticii. Soluția sa ar putea revoluționa fundamentele criptografiei folosite în transmiterea și stocarea datelor.
2. Ipoteza lui Riemann (formulată în 1859)
Unele numere întregi nu pot fi exprimate ca produs de două numere întregi mai mici, de exemplu 2, 3, 5, 7 și așa mai departe. Aceste numere sunt numite simple și joacă un rol important în matematica pură și în aplicațiile sale. Distribuția primelor între seria tuturor numerelor naturale nu respectă nici o regularitate. Cu toate acestea, matematicianul german Riemann a făcut o ipoteză cu privire la proprietățile unei secvențe de prime numere. Dacă ipoteza lui Riemann este dovedită, aceasta va duce la o schimbare revoluționară a cunoștințelor noastre de criptare și la un progres fără precedent în domeniul securității Internetului.
3. Ipoteza lui Birch și Swinnerton-Dyer (formulată în 1960)
Ea este legată de descrierea setului de soluții al unor ecuații algebrice din mai multe variabile cu coeficienți întregi. Un exemplu al unei astfel de ecuații este expresia x 2 + y 2 = z 2. Euclid a dat o descriere completă a soluțiilor acestei ecuații, dar pentru ecuații mai complexe căutarea soluțiilor devine extrem de dificilă.
4. ipoteza Hodge (formulată în 1941)
În secolul al XX-lea, matematicienii au descoperit o metodă puternică de a studia forma unor obiecte complexe. Ideea de bază este de a folosi în locul obiectului "cărămizi" simple care se lipesc împreună și își formează asemănarea. Hodge ipoteza este asociată cu unele ipoteze cu privire la proprietățile unor astfel de "cărămizi" și obiecte.
5. Ecuațiile Navier-Stokes (formulate în 1822)
Dacă înoțiți într-o barcă pe lac, atunci vor fi valuri și dacă zburați într-un avion, vor apărea fluxuri turbulente în aer. Se presupune că aceste și alte fenomene sunt descrise prin ecuații cunoscute ca ecuațiile Navier-Stokes. Soluțiile acestor ecuații sunt necunoscute și chiar și atunci nu se știe cum să le rezolvăm. Este necesar să se arate că soluția există și este o funcție suficient de buna. Rezolvarea acestei probleme va schimba în mod semnificativ metodele de efectuare a calculelor hidro și aerodinamice.
6. Problema Poincare (formulată în 1904)
Dacă întindeți banda de cauciuc pe mar, puteți, mișcând lent banda fără a fi detașată de suprafață, să o comprimați până la punct. Pe de altă parte, în cazul în care aceeași bandă de cauciuc se întind în mod corespunzător în jurul valorii de gogoasa, este imposibil în nici un mod de a comprima banda la punct, fără a rupe sau rupe covrigul panglica. Ei spun că suprafața unui măr este pur și simplu conectată, iar suprafața unei gogoși nu este. Pentru a dovedi că singura sferă este pur și simplu conectată a fost atât de dificilă încât matematicienii căută răspunsul corect până acum.
7. Ecuațiile Yang-Mills (formulate în 1954)
Ecuațiile fizicii cuantice descriu lumea particulelor elementare. Fizica Yang și Mills, găsind relația dintre geometria și fizica particulelor elementare, a scris ecuațiile sale. Astfel, ei au găsit o modalitate de a uni teoriile interacțiunilor electromagnetice, slabe și puternice. Din Yang - ecuațiile Mills implicit existența unor particule care au fost într-adevăr, observate în laboratoare din întreaga lume, astfel încât Yang - teorie Mills acceptată de cei mai mulți fizicieni, în ciuda faptului că, în cadrul acestei teorii nu este încă posibil să se prevadă masa particulelor elementare.