Notă. Aceasta este o lecție cu soluții la probleme în geometrie (secțiune stereometrie, con). Dacă trebuie să rezolvați problema geometriei, care nu este aici - scrieți despre ea în forum.
Sarcina.
Mingea și conul sunt inscripționate în cilindru, iar înălțimea cilindrului este egală cu diametrul bazei.
Găsiți raportul dintre volumul conului și volumul bilei și volumul cilindrului.
Soluția.
Pentru a rezolva problema, folosim formulele pentru găsirea volumului unei sfere, a unui cilindru și a unui con:
Luăm în considerare faptul că, prin condiția problemei, înălțimea cilindrului și, respectiv, a conului este egală cu diametrul mingii, care rezultă din construcție în funcție de condiție. Adică, mingea atinge ambele baze ale cilindrului în centrul lor. Din ceea ce scriem:
h = 2R
de unde
Vcilindra = πR2h = πR2 2R = 2πR3
Vshara = 4 / 3πR 3
Vcone = 1 / 3πR2h = 1 / 3πR2 2R = 2 / 3πR3
Astfel, raportul dintre volumul conului și volumul mingii va fi:
Vcone / V spira = 2 / 3πR 3/4 / 3πR3 = 2/3 / 4/3 = 1/2
Și raportul dintre volumul conului și volumul cilindrului va fi:
Vcone / Vashara = 2 / 3πR3 / 2πR3 = 2/3 / 2 = 1/3
Sarcina.
Volumul conului este 27. La înălțimea conului se află un punct și îl împarte într-un raport de 2: 1 numărând de sus. O secțiune este trasă prin punctul, care este baza unui con mic cu același vârf. Găsiți volumul conului mai mic.
Soluția.
Rețineți că triunghiurile AOB și COD sunt similare. Din condiția problemei, definim coeficientul de similaritate ca 2: 3.
Volumul conului se găsește prin formula indicată în problema anterioară.
Conul = 1 / 3πR 2 h = 27 (prin ipoteză)
Apoi volumul conului mic va fi egal cu
Conul mic = 1 / 3π (2 / 3R) 2 (2 / 3h)
care este
Vernal con = 1 / 3π 4/9 R 2 2/3 h
Conul mic = 8/27 * 1 / 3π R 2 h
și din moment ce știm că 1 / 3π R 2 h = 27 (vezi mai sus), atunci
Conul vernal = 8/27 * 27 = 8
Răspuns. volumul unui con mic este de 8