Deoarece în viitor vom folosi metode de calcul matrice, ar trebui să utilizăm o definiție mai generală a unui produs scalar. Definiți matricea ca tabel
scalară. Elementele sunt numite elemente de matrice dreptunghiulară de dimensiune, este numărul de rânduri, este numărul de coloane ale matricei. Matricea mărimii se numește vector de coloană, iar matricea de mărime este un vector de rând; numarul este numit dimensionalitatea vectorului.
Conform definiției, produsul matricei de mărime de matrice de mărime este o matrice de dimensiune, în care elementele matricei sunt definite prin formula:
Elementul matricei este suma produselor elementelor din rândul i al matricei prin elementele coloanei a matricei. Numărul de coloane ale matricei ar trebui să fie egal cu numărul de rânduri din matrice. Prin urmare, este posibil ca produsul invers să nu existe. Dacă ambele matrice sunt pătrate, atunci produsul este definit, dar, în general, vorbind.
Plecând de la această definiție, obținem că produsul scalar este egal cu produsul șirului vectorial de către vectorul coloanei, iar (2.6) poate fi scris în forma:
Produsul invers (produsul unui vector de coloană printr-un vector de rând) este o matrice. Pentru ca proprietățile produsului scalar să rămână neschimbate, relațiile (2.4) trebuie rescrise luând în considerare adăugarea și multiplicarea matricelor. În special, dacă simbolul denotă operația de transpunere, atunci. Reamintim că o matrice de mărime cu elemente se numește o transpunere în raport cu o matrice de dimensiune cu elemente, adică rândurile și coloanele sunt schimbate. Apoi, luând în considerare definiția operației de transpunere, produsul scalar este scris în formă
Ne întoarcem la proprietate (2.1). În formă mai generală, poate fi scrisă sub forma:
Parametrii din (2.11) se numesc valorile proprii ale matricei. După cum vom arăta mai jos, valorile proprii caracterizează direcțiile axelor sistemului de coordonate în care componentele vectorilor sunt paralele.
Este evident că sistemul (2.11) are o soluție care nu ne oferă nicio informație. Pentru ca sistemul (2.11) să aibă o soluție netrivială, determinantul matricei trebuie să fie egal cu zero:
Ecuația (2.12) este un polinom în raport cu parametrul. Se știe că rădăcinile unui polinom pot fi numere reale și complexe. Dar din punct de vedere fizic, parametrii trebuie să fie numere reale. Această condiție impune anumite cerințe privind dimensiunile elementelor off-diagonale ale matricei. Cea mai ușoară modalitate este de a arăta pentru o matrice dimensiunea, adică pentru vectorii bidimensionali și. Deoarece determinantul matricei este
apoi din starea de realitate a rădăcinilor acestei ecuații
rezultă că. Prin urmare, matricea trebuie să fie simetrică.
Dacă se găsesc valorile proprii (le numim), atunci avem:
Deoarece, atunci definiția produsului scalar implică perpendicularitatea vectorilor proprii.
În spațiul tridimensional, trei vectori proprii definesc trei direcții reciproc perpendiculare, care pot fi alese ca axe ale unui sistem de coordonate carteziene. Acestea sunt numite axele principale ale tensorului. Pe axele principale vectorii sunt paralele. Elementele diagonale ale tensorului în sistemul axelor principale sunt numite momentele principale ale tensorului. și cu privire la fiecare sarcină specifică sunt de o importanță deosebită.
În Fig. 2.4 axele principale ale tensorului sunt arătate printr-o linie punctată. În sistemul axelor principale, componentele off-diagonale ale tensorului sunt zero. Acest lucru poate fi ușor demonstrat folosind exemplul discutat mai sus. Valorile proprii ale matricei sunt egale. Componentele vectorilor proprii se găsesc într - o constantă arbitrară:. Prin urmare, vedem că unghiul dintre vector și axă este egal, iar între vector și axă este egal. Definim acum axele noului sistem de coordonate, direcționându-le de-a lungul vectorilor, respectiv. Transformarea de la coordonate la coordonate, așa cum se va arăta mai jos, poate fi scrisă sub forma unei ecuații de matrice:
unde este matricea de rotație (vezi pagina). Pentru exemplul în cauză, matricea este:
Formula de transformare pentru componentele tensorului în tranziția de la coordonatele k are forma:
unde sunt componentele matricei. Efectuând sumarea, găsim componentele tensorului în sistemul de axe principale:
În capitolul 4 vom lua în considerare sistemele de coordonate asociate cu Pământul. De o importanță deosebită este sistemul de coordonate determinat de principalele momente de inerție a Pământului sau de axele figurii Pământului.
Condiția de zero pentru produsul scalar determină perpendicularitatea vectorilor, dar nu depinde de orientarea lor reciprocă. Astfel, în cazul în care vectorii unitare ale sistemului de coordonate cartezian situată în planul paginii, al treilea vector, și perpendicular, și poate fi direcționat în sus sau în jos. În funcție de direcție, sistemul de coordonate este numit stânga sau dreapta.
Puteți selecta unul sau alt sistem de coordonate utilizând un vector vectorial al vectorilor.
Definiția 2.2.2 Produsul vectorial al două vectori este un vector perpendicular pe u, u, al cărui modul este
iar direcția sa coincide cu direcția de mișcare a șurubului drept în timp ce acesta se rotește de la k la un unghi mai mic decât.
Dacă, atunci vectorii sunt paralele (sau antiparaleli). Într-un sistem de coordonate rectangulare obținem:
Componentele unui vector egal cu un produs vectorial pot fi găsite într-un sistem de coordonate carteziene prin calcularea următorului determinant: