O măsură a inerției unui corp rigid în cazul mișcării de rotație este momentul de inerție:
unde mi este masa elementară a piesei i a corpului, ri este distanța dintre această piesă și axa de rotație.
Momentele de inerție a unor solide în raport cu axa care trece prin centrele lor de masă:
Cilindru subțire I = mR2.
Bara subțire I = ml 2.
Dacă axa de rotație nu trece prin centrul de masă, se utilizează teorema lui Steiner pentru calcularea momentului de inerție:
unde I este momentul inerției corpului față de axa dată, I0 este momentul inerției acestui corp față de axa paralelă cu cea dată și care trece prin centrul de masă, m este masa corpului și este distanța dintre axe.
Ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație a unui corp rigid este I = M,
unde I este momentul inerției unui corp rigid, față de axa de rotație, este accelerația angulară, M este momentul total al forțelor care acționează asupra corpului în raport cu o anumită axă.
unde l este distanța de la linia de-a lungul căreia forța acționează asupra axei de rotație.
Momentul unghiular al unui corp rigid în raport cu o axă fixă: L = I.
unde I este momentul inerției unui corp solid față de o anumită axă. Este viteza unghiulară a rotației sale.
Momentul momentului punctului material față de axa fixă: L = m? R,
unde m este masa particulei; - viteza lui, r - distanța de la linia de-a lungul căreia particulă se deplasează la axa dată.
Într-un sistem închis de particule, impulsul total angular nu se schimbă. Li = const.
Energia cinetică a corpului rotativ:
unde eu sunt momentul inerției corpului. Viteza sa unghiulară.
Energia cinetică a corpului de rulare:
Ek = +,
unde m este masa corpului, 0 este viteza de translație a centrului de masă și I0 este momentul inerției corpului în raport cu axa care trece prin centrul masei. Viteza angulară de rotație a corpului.
Exemple de rezolvare a problemelor
Problema 13
Un con rotund omogen rotund are masa m și raza bazei R. Găsiți momentul inerției conului în raport cu axa sa.
Soluția
Să perforăm un strat conic pe straturile cilindrice cu o axă de grosime dr. Masa unui astfel de strat
în cazul în care. - densitatea materialului din care este fabricat conul. Momentul inerției acestui strat
Momentul inerției întregului con constă din momentele de inerție ale tuturor straturilor:
Rămâne de exprimat prin masa întregului cilindru:
Volantul, care are un moment de inerție de 245 kg ∙ m 2. se rotește la o frecvență de 20 r / s. Un minut după ce cuplul a încetat să acționeze pe roată, sa oprit. Găsiți: 1) momentul forțelor de fricțiune; 2) numărul de rotații pe care roata a făcut-o până când sa oprit complet după ce forța a încetat.
Soluția
La frânare, accelerația unghiulară este negativă. Găsim modulul său din raportul cinematic pentru viteza unghiulară.
Această accelerație se datorează acțiunii momentului de cuplu al frecării
Unghiul total de rotație pentru o mișcare la fel de înceată se găsește din relația:
Rescriim relațiile pentru unghi sub forma:
Pentru a găsi viteza, obținem:
Înlocuind valorile numerice, găsim:
Pe un tambur cu o rază R = 20 cm, momentul inerției fiind egal cu I = 0,1 kg ∙ m 2. un cablu este înfășurat la care se atașează o greutate de m = 0,5 kg. Înainte de începerea rotației, înălțimea încărcăturii deasupra podelei este h1 = 1 m. Găsiți: 1) după ce timpul de încărcare a coborât la podea; 2) energia cinetică a sarcinii în momentul impactului asupra podelei; 3) tensiunea firului. Fricțiunea este neglijată.
h1
iar forța este acționată de forța gravitațională mg și forța de tensionare a cablului T. Ecuația pentru mișcarea de translație a sarcinii ma = mg-T.
Tamburul se rotește în jurul unei axe fixe. Ecuația lui de mișcare este M = I.
unde M este momentul tensiunii cordului, M = TR. I - moment de inerție a tamburului ,. = - accelerația unghiulară.
Exprimăm de aici tensiunea cordului:
și să o înlocuiți în ecuația mișcării încărcăturii:
a =. (11)
Timpul de deplasare a sarcinii poate fi găsit din ecuația:
În momentul impactului pe podea, sarcina a avut o viteză:
? = at =.
În consecință, energia sa cinetică:
Înlocuind valorile numerice, definim cantitățile necesare:
O minge de masă m = 1 kg, rulare fără alunecare, se lovește de perete și se îndepărtează de el. Viteza mingii înainte de a lovi peretele? = 10 cm / s, după un impact de 8 cm / s. Găsiți cantitatea de căldură Q. eliberată de impact.
Soluția
Energia cinetică a corpului de rulare este:
Momentul de inerție al bilei I =.
viteza angulară de rotație.
Înlocuiți aceste cantități în formula (12):
Cantitatea de căldură eliberată în timpul unui impact este egală cu diferența dintre energiile sale cinetice înainte și după impact:
Înlocuind valorile numerice, obținem:
a = ∙ 1 (100 ∙ 10 -4 - 64. 10 -4) = 10 -4 = 2,25 ∙ 10 -3 J = 2,52 MJ.
Gasiti energia cinetica a unei biciclete care calatoreste cu viteza? = 9 km / h. Greutatea biciclistului cu bicicleta este m = 78 kg, iar masa roților este m1 = 3 kg. Roțile sunt considerate cercuri subțiri.
Soluția
Energia cinetică a unei biciclete constă în energia cinetică a mișcării translaționale și energia cinetică a mișcării rotative a roților.
Momentul de inerție al roților, care sunt cercuri subțiri, este I =, iar viteza unghiulară de rotație este =.
Substituim aceste valori în expresia energiei cinetice: Ek = + =.
Viteza trebuie tradusă în m / s :? = 2,5 m / s.
Înlocuirea valorilor numerice se datorează: Ek = 253 Jouli.
O tijă omogenă de 85 cm lungime este suspendată pe o axă orizontală care trece prin capătul superior al tijei. Care este cea mai mică viteză de care aveți nevoie pentru a comunica la capătul inferior al tijei, astfel încât să facă o rotație completă în jurul axei?
Soluția
Pentru ca tija să facă o rotație completă în jurul axei, aceasta trebuie să se ridice în poziția verticală B.
Dacă energia potențială a tijei este măsurată de la poziția inițială A., atunci în poziția B centrul de masă este ridicat de către
înălțimea C2-C1 = 1 - lungimea tijei. Tija dobândește energia potențială En = mgl datorită energiei cinetice,
În care i sa spus în poziția A. Dacă
? - cea mai mică viteză a capătului inferior la care poate face o revoluție completă, atunci
viteza unghiulară a tijei.
Momentul de inerție al tijei în raport cu axa care trece prin capătul său este determinat de teorema lui Steiner:
unde ml 2 este momentul de inerție a tijei în raport cu axa perpendiculară pe ea, care trece prin centrul de masă, este distanța de la centrul de masă la axa necesară.
Energia cinetică a mișcării de rotație:
Ek = =. =.
Conform legii conservării energiei, energia cinetică a tijei în poziția A este egală cu energia ei potențială în poziția B.
Înlocuim valorile numerice: = = 7 m / s.
O persoană care cântărește m1 = 60 kg se află pe o platformă staționară cu o masă de m = 100 kg. Care este numărul de rotații pe minut pe care platforma îl va face dacă persoana se mișcă în jurul unui cerc cu o rază de 5 m în jurul axei de rotație? Viteza de deplasare a unei persoane în raport cu platforma este de 4 km / h. Radiusul platformei este de 10 m. Citiți platforma ca un disc omogen, iar persoana ca o masă punctuală.
Soluția
Inițial, platforma cu omul odihnit,
Momentul angular al acestui sistem a fost zero. Când o persoană începe să se miște pe o platformă, platforma se va roti în direcția opusă. Dacă distanța de la persoană la axa de rotație a platformei r. la locul persoanei u = r. Astfel, dacă o persoană se mișcă relativ la platformă cu o viteză
?. atunci în raport cu pământul se va mișca cu viteză? - r. impulsul său față de axa platformei L1 = m1 (a - r) r. Momentul impulsului platformei în raport cu axa sa:
unde eu sunt momentul inerției platformei.
Deoarece platforma este un disc omogen, momentul său de inerție față de axa care trece prin centru:
Să scriem legea conservării momentului unghiular pentru un anumit sistem:
prin urmare viteza unghiulară de rotație a platformei poate fi determinată:
Numărul de rotații ale platformei pe minut este determinat din raportul:
Înlocuirea randamentelor numerice:
n = 0,49 rpm.
4. OSCILLĂRI MECANICE ȘI LĂIȚI