Construcția unei secțiuni a unui polyhedron de către un avion
Secțiunile transversale ale poliedrului sunt folosite pentru a rezolva multe probleme stereometrice. Am inventat câteva metode de construire a secțiunilor, precum și probleme legate de construcția lor. Secțiunile transversale sunt considerate pentru planurile care trec printr-un anumit punct și o linie dreaptă prin trei puncte date, precum și secțiuni, atunci când planul secant este dat de una dintre condiții.
Figura prezintă construcția secțiunii tetraedrului cu un plan care trece prin punctele M, N, P pe marginea tetraedrului. Punctele M și N sunt date în așa fel încât liniile MN și AC nu sunt paralele. Segmentele MN și AP sunt părțile laterale ale secțiunii. Punctul P este comun pentru planurile MNP și ABC. Al doilea punct comun se găsește la intersecția liniilor MN și AC, S = MNAC. Linia dreaptă SP este linia de intersecție a planurilor MNP și ABC. Intersecția acestei linii cu marginea AB dă vârful Q al secțiunii, Q = SPAB. Secțiunea - MNPQ patrulaterală. Avionul trece prin trei puncte date
Soluție: Indicați planul de tăiere. segmentele AD1 și AM aparțin atât planului cât și fețelor cubului, prin urmare ele sunt laturile secțiunii. Construim partea laterală a secțiunii în fața BB1C1C. Planurile BB1C1C și AA1D1D sunt paralele, astfel încât linia de intersecție a planurilor și BB1C1C este paralelă cu linia dreaptă AD1. Deoarece liniile BC1 și AD1 sunt paralele, această linie de intersecție este paralelă și dreaptă BC1. Tragem prin punctul M în planul BB1C1C o linie paralelă cu linia BC1, intersecția cu marginea B1C1 dă vârful secțiunii. Secțiune - trapez AMND1, MN | AD1. Să găsim lungimea laturilor acestui trapez. Avem AD1 =. Segmentul MN este linia de mijloc din triunghiul BB1C1, prin urmare MN = BC1 =. În triunghiurile cu unghiuri drepte ABM și D1C1N (AB = C1D1 = a, BM = NC1 =) găsim AM = D1N =. Prin urmare, trapezoidul AMND1 este isoscele. Să-i găsim înălțimea. Coborâți perpendicularii MP și NQ la baza AD1, obținem PQ = MN =. D1Q = PA = (D1A-QP) =. În triunghiul drept D1QN (D1N = .D1Q =) găsim NQ =. Se determină suprafața secțiunii transversale S = (MN + D1A) * NQ = a2. Răspuns: a2 Având în vedere: Lungimea marginii cubului este egală cu a. Găsiți secțiunea transversală a feței AA1D1D și mijlocul M al marginii BB1 prin diagonala AD1. Avionul trece printr-un punct dat și o linie dreaptă
Soluție: Construcția se bazează pe următoarea teoremă: Dacă un avion trece printr-o linie dreaptă paralelă cu alt plan și intersectează acest plan, atunci linia de intersecție a planelor este paralelă cu linia dată. Indicați planul secțiunii. Planul ACD are un punct comun M cu planul și conține o linie dreaptă AC paralelă cu planul. În consecință, linia de intersecție a acestor planuri trece prin punctul M paralel cu linia dreaptă AC. În concordanță cu aceasta, partea constructivă a secțiunii MS1 este construită, MS1 | AC. Desenând linia S1N, găsim a doua parte a secțiunii - S1S2. În figură, punctul N este dat astfel încât punctul S2 să aparțină marginii AB. Planul ABC conține, de asemenea, o linie dreaptă, paralelă cu planul secțiunii. Prin urmare, partea secțiunii S2S3 este trasată paralel cu muchia AC. Segmentul S3M este a patra parte a secțiunii. Secțiunea MS1S2S3 - trapez (MS1 | AC | S2S3). Având în vedere: Figura prezintă construcția secțiunii tetraedrului printr-un plan paralel cu marginea AC și trecând prin punctul M al marginii CD și prin punctul N în fața ABD. Planul trece prin două puncte paralele cu marginea (linia dreaptă).
Construcția secțiunilor polyhedronului printr-un plan definit printr-un punct și prin condiția paralelismului sau a perpendicularității la liniile drepte și la planurile indicate.
Soluție: Pe marginea AB a piramidei SABCD, am lăsat segmentul BM = AB. Prin punctul M pentru a organiza fețele ASB MKAB (punctul K situată pe margine, MK | SF, în cazul în care SF - apotemă piramida), și transporta MPAB ABCD de bază, în cazul în care punctul P se află pe marginea DC (MP | FO). SFO KMP plane și paralele între ele și perpendiculare pe AB, în consecință, la baza perpendiculare a ABCD piramidei. De la BC | MP, linia dreaptă BC este paralelă cu planul de tăiere KMP. Prin urmare BSC se confruntă cu un plan de tăiere puncte comune K, se intersectează cu ea drept KL | BC - teorema, teorema inversa a liniilor paralele și avioane. Secțiunea necesară a trapezului este MKLP. Fie N punctul de intersecție a diagonalei BD a bazei piramidei și a segmentului MP. Dar KN | SO ca linii de intersecție a planurilor paralele SFO și KMP de către al treilea plan DSB. Deoarece SO este perpendicular pe planul bazei piramidei, segmentul KN este de asemenea perpendicular pe acest plan. Prin urmare, KNMP, segmentul KM este înălțimea MKLP trapezoidală. Având: Pe marginea AB a piramidei patrulare normale SABCD este dată punctul M, BM = AB. Un plan secant perpendicular pe linia AB este tras prin punctul M. Construi secțiune și calcula aria sa, în cazul în care partea de bază a piramidei este, iar înălțimea H. piramidei 1. Planul trece prin punctul perpendicular pe această linie dreaptă.
Soluție: Referindu-ne la teorema de mai sus, construim secvențial liniile de intersecție a planului de tăiere cu planurile bazei ABC, DSB și ASC. Aceste construcții ne dau toate nodurile dorite ale secțiunii. Desigur, construcția care N - mijlocul lui AB, punctul Q - mijloc SO, prin urmare, punctul K și P - marginile laterale de mijloc SA si SC piramida respectiv. De aici: KN | SB | PM. În plus, QF | KN | PM. Dar QFNM, așa cum este ușor de verificat prin aplicarea teoremei pe trei perpendicule. Prin urmare, secțiunea este alcătuită dintr-un dreptunghi KNMP și un triunghi izoccelular KLP având o bază comună KP. Având în vedere: Construiți o secțiune a SABCD piramidală obișnuită patrulaterală printr-un plan care trece prin mijlocul M al părții BC a bazei paralel cu diagonala de bază AC și cu nervura laterală SB. Calculați suprafața secțiunii transversale, dacă lungimea laturii bazei piramidei este a, iar marginea laterală este înclinată la un unghi față de planul bazei. 2. Planul trece printr-un punct dat și este paralel cu două linii drepte intersectate sau traversate. Exemplul 1.
Soluție: Noi denotăm planul secant. Linia de intersecție a acestui plan cu planul ABD este paralelă cu linia dreaptă AD (AD |). Petrecem MN | AD. Liniile de intersecție a planurilor BCA și BCD cu planul sunt paralele cu linia dreaptă BC (BC |). Construim MQ | BC și NP | BC. Partea a patra a secțiunii PQ este paralelă cu marginea AD. Secțiunea este o paralelogramă MNPQ (MN | AD | PQ, NP | BC | MQ). Exprimăm lungimile laturilor paralelogramului MNPQ prin lungimile marginilor AD și BC. Din similitudinea triunghiurilor AMQ și ABC, avem MQ: BC = AN: AB =. din care MQ = * BC. Acum găsim BM = AB-AM = (1-) * AB și din similitudinea triunghiurilor BMN și BAD obținem MN: AD = BM: BA = 1-. și anume MN = (1) * egalitate AD.podstavlyaya MN = MQ obține expresii, avem (1) * * AD = BC, în cazul în care = A: Secțiunea transversală este un diamant la =. Dată: Pe marginea AB a tetraedrului există un punct M astfel încât AM: AB =. 0<<1. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и параллельно ребрам AD и BC. При каком значении это сечение будет ромбом, если AD:BC = m? 2. Плоскость проходит через данную точку и параллельна двум пересекающимся или скрещивающимся прямым. Пример 2.
Soluție: Lăsați ABCD BD în romb Soluție: Lăsați planul secant să fie paralel cu fața ASB a piramidei SABC. Ca urmare, prin centrul O al liniei MN baza piramidei | AB trasează fețele laterale plane secant se pot construi în moduri diferite: fie să dețină OK | SD (SD - apotemă piramidă) și conectați punctul K cu punctele M și N, sau dețin și NK | BS MK | AS (liniile MK și NK se intersectează la punctul K de pe marginea SC). Este posibil, având primit NK | BS și punctul K, conectați-l la punctul M. Având în vedere: Construcția regulat plan triunghiular secțiune transversală piramida care trece prin centrul bazei paralel cu fețele laterale ale piramidei. 4. Planul trece printr-un punct dat și este paralel cu un plan dat. Soluția: Mediana feței laterale a piramidei obișnuite nu este perpendiculară pe planul bazei, astfel încât condițiile problemei definesc un singur plan de tăiere. Dacă în condiția problemei vorbim despre perpendicularitatea planului spre plan, trebuie să încercăm să trasăm un plan perpendicular pe planul din punctul convenabil al planului. În acest caz, cel mai convenabil este să aruncați perpendicularul pe planul de bază de la capătul K al mediei AK a feței laterale ASB. Deoarece punctul K este în planul DSB perpendicular pe planul de bază, baza P perpendicular ar află pe linia de intersecție plane perpendiculare BD DSB și ABC. Rămâne în planul bazei piramidei să tragă linia AP și să găsească punctul M al intersecției sale cu linia BC. În triunghiul AKM rezultat, segmentul construit KP este înălțimea. Astfel, în acest caz, în cursul construcției, forma nu este doar clarificată, ci este construită înălțimea triunghiului AKM necesar pentru a determina zona sa. Având în vedere: Construiți o secțiune a SABCD piramidală obișnuită patrulaterală printr-un plan care trece prin AK-ul median al feței laterale ASB și perpendicular pe planul bazei. 5. Planul trece prin linia dată și este perpendicular pe planul dat (nu este perpendicular pe linia dată). Soluție: Lăsați planul secant să treacă prin mijlocul M al muchiei laterale SA a piramidei date SABCDEF paralel cu partea de bază a bazei AB. Ca și în problema precedentă, mai întâi abandonăm perpendicularul MP din punctul M în planul bazei piramidei. Baza P a acestui perpendicular va fi pe OA. Apoi, prin punctul P (mijlocul OA) conducem KL | AB. Punctele K și L sunt punctele medii ale laturilor AF și BC ale bazei piramidei. Trecem MN | AB până la M (aceasta rezultă din condiția paralelismului planului secant al liniei AB). În secțiune, este obținut un trapez KOSN ISOSCELL, segmentul MP este înălțimea lui. Având în vedere: Construirea unui plan hexagonal regulat secțiune piramida care trece prin mijlocul marginii laterale paralele cu latura bazei și perpendicular pe planul de bază al piramidei. 6. Planul trece printr-un punct dat, este perpendicular pe planul dat și este paralel cu această linie dreaptă. Soluție: începem să rezolvăm astfel de probleme construind un unghi dihedral. Acest lucru facilitează construcția și stabilirea în continuare a formei secțiunii transversale. Să presupunem că într-o anumită prismă hexagonală obișnuită O este un centru, FC este o diagonală mare a bazei. Realizăm OKDE (K-mijloc DE), KK1 | DD1. Planul O1OK este perpendicular pe planul prismei și pe diagonala bazei FC (de la FCOK și FCOO1). Rămâne în acest plan să tragem raza OL la un unghi dat la OK pentru a obține un unghi liniar LOK al unghiului dihedral între planul secant și planul bazei prismei. Punctul L aparține planului de tăiere și planului feței DD1E1E. Aceste planuri se intersectează de-a lungul liniei drepte MN, trecând prin L paralel cu linia dreaptă DE. Trapezoidul CNMF este secțiunea transversală dorită. Din cursul construcției rezultă că acest trapez este unul echilateral, segmentul LO fiind înălțimea sa. Se dă: Pentru a construi o secțiune a unei prisme hexagonale obișnuite printr-un plan care trece printr-o diagonală mare a bazei la un unghi față de planul bazei. 7. Planul trece prin linia dată la un unghi dat față de planul dat.