Acasă | Despre noi | feedback-ul
Proprietățile soluției generale.
1) Deoarece constanta C este o cantitate arbitrară, atunci în general ecuația diferențială are un set infinit de soluții.
2) Pentru unele condiții inițiale, x = x0. y (x0) = y0 există o valoare C = Co pentru care soluția ecuației diferențiale este funcția y = j (x, C0).
Definiția. O soluție cu forma y = j (x, C0) se numește o soluție particulară a ecuației diferențiale.
Definiția. problema Cauchy (Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) - matematician francez) chemat să se găsească o soluție particulară a unei ecuații diferențiale y = j (x, c0), care satisface condițiile inițiale y (x0) = y0.
Teorema Cauchy. (teorema privind existența și unicitatea unei soluții a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi)
Dacă funcția f (x, y) este continuă într-un domeniu D în planul XOY și are un derivat parțial continuu în acest domeniu. atunci pentru orice punct (x0, y0) în D există o soluție unică a ecuației. este definit într-un interval care conține punctul x0. presupunând valoarea j (x0) = y0 pentru x = x0. și anume există o soluție unică a ecuației diferențiale.
Definiția. Un integral al unei ecuații diferențiale este orice ecuație care nu conține derivați pentru care ecuația diferențială dată este o consecință.
Un exemplu. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale.
Soluția generală a ecuației diferențiale este căutată prin integrarea laturilor stângi și drepte ale ecuației, care a fost transformată anterior după cum urmează:
- Aceasta este soluția generală a ecuației diferențiale inițiale.
Presupunem că sunt date câteva condiții inițiale: x0 = 1; y0 = 2, atunci avem
Atunci când valoarea obținută este înlocuită cu o constantă în soluția generală, obținem o soluție particulară pentru condițiile inițiale date (soluția cauzei Cauchy).
Definiția. Curba integrală este graficul y = j (x) al soluției ecuației diferențiale în planul XOY.
Definiția. O soluție specială a unei ecuații diferențiale este o soluție în toate punctele în care condiția de unicitate Cauchy (a se vedea teorema lui Cauchy) nu se află, adică, într-un cartier dintr-un anumit punct (x, y) există cel puțin două curbe integrale.
Soluțiile speciale nu depind de constanta C.
Soluțiile speciale nu pot fi obținute dintr-o soluție generală pentru orice valoare a constantei C. Dacă construim o familie de curbe integrate ale unei ecuații diferențiale, atunci soluția singulară va fi reprezentată de o linie care atinge cel puțin o curbă integrală în fiecare dintre punctele sale.
Rețineți că nu fiecare ecuație diferențială are soluții speciale.
Ecuații diferențiale de ordinul întâi.
Definiția. O ecuație diferențială a primei ordini este o relație care leagă o funcție, primul ei derivat și o variabilă independentă, adică relația dintre forma:
Dacă o astfel de relație este transformată în formă, atunci această ecuație diferențială de ordinul întâi se va numi ecuația rezolvată în raport cu derivatul.
Convertiți mai departe această expresie:
Funcția f (x, y) poate fi reprezentată în forma: atunci, prin substituție în ecuația obținută mai sus, avem:
- aceasta este așa-numita formă diferențială a ecuației de ordinul întâi.
În continuare, luăm în considerare în detaliu tipurile de ecuații de ordinul întâi și metodele de rezolvare a acestora.
23. Teorema Cauchy pentru existența și unicitatea unei soluții de ecuație diferențială de ordinul întâi (fără dovadă).
Teorema Cauchy. (teorema privind existența și unicitatea unei soluții a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi)
Dacă funcția f (x, y) este continuă într-un domeniu D în planul XOY și are un derivat parțial continuu în acest domeniu. atunci pentru orice punct (x0, y0) în D există o soluție unică a ecuației. este definit într-un interval care conține punctul x0. presupunând valoarea j (x0) = y0 pentru x = x0. și anume există o soluție unică a ecuației diferențiale.
24. Ecuații diferențiale de ordinul întâi: cu variabile separabile, omogene, liniare.
Definiția. O ecuație diferențială a primei ordini este o relație care leagă o funcție, primul ei derivat și o variabilă independentă, adică relația dintre forma:
Dacă această relație este transformată în formă, atunci această ecuație diferențială de ordinul întâi se va numi ecuația rezolvată în raport cu derivatul.
Convertiți mai departe această expresie:
Funcția f (x, y) poate fi reprezentată în forma: atunci, prin substituție în ecuația obținută mai sus, avem:
- aceasta este așa-numita formă diferențială a ecuației de ordinul întâi.
În continuare, luăm în considerare în detaliu tipurile de ecuații de ordinul întâi și metodele de rezolvare a acestora.
Fie funcția f (x) definită și continuă pe o anumită perioadă
o Articole similare