TEMA. ELEMENTELE UNUI ALGEBRA VECTOR
Întrebarea 1. Noțiuni și definiții de bază.
Un vector este numit un segment direcționat (o pereche ordonată de puncte). Vectorul zero apar de asemenea vectorilor, începutul și sfârșitul cărora coincid.
Lungimea (modulul) unui vector este distanța dintre începutul și sfârșitul vectorului.
Vectorii sunt numiți coliniari dacă sunt situați pe linii drepte sau paralele. Vectorul zero este colinar la orice vector.
Condițiile de colinearitate pentru doi vectori
Pentru colinearitatea a doi vectori este necesar și suficient ca proiecțiile lor să fie proporționale :.
Vectorii sunt numiți coplanari dacă există un plan la care sunt paralele.
Vectorii collineari sunt întotdeauna coplanari, dar nu toți vectorii coplanari sunt coliniari.
Vectorii sunt numiți egali dacă sunt coliniari, direcționați în mod egal și au aceleași module.
Toți vectorii pot fi aduse la un început comun, adică construiți vectori, respectiv egali cu datele și având un început comun. Din definiția egalității vectorilor rezultă că orice vector are infinit de multe vectori egal cu el.
Operațiile liniare pe vectori sunt adunarea și înmulțirea cu un număr.
Suma vectorilor este un vector -
Munca -. în acest caz este colinar.
Vectorul este co-directionat cu vectorul (-) daca a> 0.
Vectorul este opus vectorului (-¯ ) dacă a <0.
5) (a × b) = a (b) este asociativitatea
6) (a + b) = a + b este distributivitatea
7) a (+) = a + a
O bază în spațiu este orice 3 vectori non-coplanari luați într-o anumită ordine.
O bază pe plan este orice 2 vectori non-coliniari luați într-o anumită ordine.
O bază pe o linie este orice vector nonzero.
Dacă este o bază în spațiu și. atunci numerele a, b și g se numesc componentele sau coordonatele vectorului în această bază.
În acest sens, puteți scrie următoarele proprietăți:
- vectorii egali au aceleași coordonate,
- când vectorul este înmulțit cu numărul componentei sale, acesta este de asemenea înmulțit cu acest număr,
- când se adaugă vectorii, se adaugă componentele respective.
Dependența liniară a vectorilor.
Vectorii sunt numiți dependenți liniar. dacă există o astfel de combinație liniară. pentru non-zero simultan ai. și anume .
Dacă, totuși, numai dacă ai = 0 este satisfăcută. atunci vectorii sunt numiți liniar independenți.
Proprietatea 1. Dacă între vectori există un vector zero, atunci acești vectori sunt dependenți liniar.
Proprietatea 2. Dacă unul sau mai mulți vectori sunt adăugați la un sistem de vectori dependenți liniar, atunci sistemul rezultat va fi, de asemenea, dependent de liniaritate.
Proprietatea 3. Un sistem de vectori depinde liniar dacă și numai dacă unul dintre vectori se descompune într-o combinație liniară a vectorilor rămași.
Proprietatea 4. Orice 2 vectori coliniari sunt dependenți liniar și, invers, orice 2 vectori dependenți liniar sunt coliniari.
Proprietatea 5. Orice 3 vectori coplanari sunt dependenți liniar și, invers, orice 3 vectori dependenți liniar sunt coplanari.
Proprietatea 6. Orice 4 vectori sunt dependenți liniar.
Pentru a determina poziția unui punct arbitrar, pot fi utilizate diferite sisteme de coordonate. Poziția unui punct arbitrar în orice sistem de coordonate trebuie determinată în mod unic. Conceptul de sistem de coordonate este o colecție de punct de origine (originea) și o bază. Atât în plan, cât și în spațiu, este posibil să se atribuie o varietate de sisteme de coordonate. Alegerea sistemului de coordonate depinde de natura sarcinii geometrice, fizice sau tehnice prezentate. Să luăm în considerare unele dintre cele mai utilizate sisteme de coordonate.
Sistemul de coordonate carteziene.
Fixați un punct O în spațiu și luați în considerare un punct arbitrar M.
Un vector este numit vector de rază al unui punct M. Dacă definim o bază într-un spațiu, atunci putem asocia unui punct M un număr de trei, componentele vectorului său de rază.
Un sistem de coordonate cartezian în spațiu este colectarea unui punct și a unei baze. Un punct se numește originea coordonatelor. Liniile care trec prin origine sunt numite axele de coordonate.
Axa 1 ax axă abscisă
Axa 2 - axa ordonatelor
A 3-a axă aplicată
Pentru a găsi componentele unui vector, scade coordonatele de origine din coordonatele sfârșitului.
Se spune că o bază este ortonormală. dacă vectorii ei sunt perechi ortogonali și egali cu unul.
Sistemul de coordonate cartesiene a cărui bază este ortonormală se numește sistemul de coordonate dreptunghiulare carteziană.
Vectorii (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) și (3; 2; 2) sunt date într-o anumită bază. Arătați vectorii. și formează o bază și găsesc coordonatele vectorului în această bază.
Vectorii formează o bază dacă sunt liniar independenți, cu alte cuvinte, dacă ecuațiile care intră în sistem sunt:
Această condiție este îndeplinită dacă determinantul matricei sistemului este diferit de zero.
Pentru a rezolva acest sistem, folosim metoda Cramer.
Total, coordonatele vectorului în bază. . . <-1/4, 7/4, 5/2>.
Lungimea vectorului în coordonate este definită ca distanța dintre punctele de început și sfârșitul vectorului. Dacă sunt date două puncte în spațiul A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2), atunci.
Dacă punctul M (x, y, z) împarte segmentul AB în raportul l / m, numărând de la A, atunci coordonatele acestui punct sunt definite ca:
În cazul particular, coordonatele punctului intermediar al unui interval se găsesc după cum urmează:
Operații liniare pe vectori în coordonate.
Se dau vectori într-un sistem de coordonate dreptunghiular
apoi operațiile liniare pe ele în coordonate au forma: