Primitiv și nedeterminat integral.
Fie funcțiile u definite pe intervalul (a, b). Dacă funcția are un derivat pe intervalul (a, b) și dacă pentru toată egalitatea
atunci funcția se numește antiderivativă pentru funcția f (x).
Observația 1. Conceptul de primitiv poate fi introdus și pentru alte intervale (un interval de jumătate, un segment finit sau infinit).
Noi oferim definițiile antiderivativei pe interval. Dacă funcțiile u sunt definite pe intervalul [a, b] și funcția F este diferențiată pe interval (a, b). este continuă pe intervalul [a, b] și egalitatea (1) este valabilă pentru toți, atunci funcția se numește antiderivativul funcției f (x) pe intervalul [a, b].
Observația 2. Dacă este un derivat antiderivant pentru o funcție pe interval (a, b). atunci funcția pentru orice valoare este, de asemenea, un antiderivativ pentru.
Reversul este, de asemenea, adevărat.
Teorema. Dacă și sunt două primitive pentru funcția f (x) în intervalul (a, b), atunci pentru toate egalitatea
Indicăm asta. Prin definiția antiderivativului, în virtutea ipotezei teoremei, pentru toți
din care rezultă că funcția Φ (x) este diferențiată pe intervalul (a, b) și pentru toate avem egalitatea
Prin corolarul 1, din teorema Lagrange pentru toate sau egalitatea (2) este valabilă.
Observația 3. În cele ce urmează se demonstrează că antiderivativul există pentru orice funcție care este continuă într-un interval (sau interval).
Noțiunea de integritate nedeterminată
Setul tuturor antiderivativilor pentru o functie f (x) pe un interval este numit integralul indefinit al functiei f pe acest interval. simbol și scrie
Aici F (x) este un element primitiv al funcției f pe interval. C este o constantă arbitrară. Semnul este numit semnul integralului, f este integrand, iar f (x) dx este integrand.
Integrând poate fi scris în forma dF (x). și anume
Funcționarea găsirii unui integral indefinit al unei funcții date, care este o operație inversă a diferențierii, se numește integrare. Prin urmare, orice formulă pentru derivat, adică formula formulării. pot fi scrise în forma (3).
Proprietățile integralului nedefinit
Rezultă din (3) că
Egalitatea (6) rezultă din egalitatea (3) și (4).
Proprietatea 3. Dacă funcția f (x) și g (x) au primitive la un anumit interval, atunci pentru orice astfel încât funcția să aibă și o primitivă în acest interval și
Fie F și G primitive pentru funcțiile f și g respectiv, apoi antiderivativă pentru funcție. așa cum. Conform definiției integrale, partea stângă a (7) constă din funcții ale formei. și partea dreaptă a funcțiilor formularului Din moment ce. atunci fiecare funcție a formei aparține unei colecții de funcții. și invers; pentru un număr dat C poate fi găsit. și dată - numărul C astfel încât egalitatea să fie deținută.
PENTRU REFERINȚĂ. Unele metode de rezolvare.
Metodă pentru schimbarea unei variabile (metoda substituției). [- substituție Euler. ]
Metoda de integrare pe părți.
