Nu. 1. Doi muncitori fac o treabă. După 45 de minute de lucru împreună, primul lucrător a fost transferat la un alt loc de muncă, iar al doilea lucrător a terminat restul lucrării în 2 ore și 15 minute. Timpul în care fiecare lucrător ar putea executa lucrarea separat, dacă se știe că al doilea va avea nevoie de o oră mai mult decât prima.
Fie ca primul muncitor să facă toată lucrarea timp de x ore, iar a doua lucrare întregă - timp de ore. Prin condiția x = y-1. această ecuație (1).
Fie volumul întregii lucrări să fie 1. Atunci 1 / x - productivitatea muncii primului muncitor (cantitatea muncii efectuate în 1 oră), 1 / y - productivitatea muncii celui de-al doilea lucrător.
Deoarece au lucrat 45 de minute = 3/4 ore împreună, atunci (3/4) (1 / x + 1 / y) reprezintă cantitatea de muncă efectuată de lucrători în 45 de minute.
Deoarece o secundă să lucreze lucrat 2 ore și 15 minute = 2¼ ore = 9/4 ore, apoi (9/4) * (1 / y) - valoarea lucrărilor efectuate de-al doilea lucru timp de 2 ore și 15 minute.
Astfel, am obținut un sistem de două ecuații: (1) și (2).
O rezolvăm, pentru aceasta substituim expresia pentru x din ecuația (1) în (2)
și simplifica. Obținem 3 (2y-1) +9 (y-1) = 4y (y-1) -> 4y2 -19y + 12 = 0;
Din cele două valori pentru y alegem cel care se potrivește în sensul problemei y1 = 45 min. dar 45 de minute. muncitorii au lucrat împreună, iar al doilea lucrător a lucrat separat, deci y1 = 3/4 nu se potrivește cu sensul sarcinii. Pentru y = 4 obținut, găsim din prima ecuație a sistemului original valoarea x
Răspuns: Primul muncitor va face munca timp de 3 ore, al doilea - timp de 4 ore.
Notă: această problemă ar putea fi rezolvată fără introducerea celei de-a doua variabile y și exprimând timpul de lucru al celui de-al doilea lucrător prin x, atunci a fost necesar să se compună o ecuație și să se rezolve.
Problema aliajelor.
Nu. 1. Există o bucată de aliaj de cupru cu staniu cu o masă totală de 12 kg, conținând 45% cupru. Cat de mult trebuie adaugat staniu pur la aceasta piesa de aliaj, astfel incat noul aliaj rezultat sa contina 40% cupru?
m se poate calcula folosind următoarea proporție:
Se lasă x kg de staniu adăugat la aliaj. Apoi 12 + x este masa noului aliaj. Și din moment ce masa de cupru din aliajul original este de 5,4 kg. atunci avem o proporție:
Construiți ecuația: 40 (12 + x) = 100 · 5.4
rezolvând-o, obținem x = 1,5 kg.
Răspuns: trebuie să adăugați 1,5 kg de staniu pur.
Sarcina de a mișca.
№ 2. Navele au trecut 4 km în fața curentului râului, apoi au trecut încă 33 km în aval, petrecând o oră întreagă o oră. Găsiți propria viteză a vaporilor dacă viteza râului este de 6,5 km / h.
Soluția. Fie x km / h viteza proprie a aburatorului. Apoi (x + 6,5) km / h este viteza vaporului de-a lungul curentului și (x - 6,5) km / h este viteza vaporului împotriva curentului.
Deoarece vaporul a parcurs 4 km la o viteză (x = 6,5) km / h în raport cu curentul, 4 / (x - 6,5) reprezintă timpul deplasării vaporului împotriva curentului.
Și deoarece vaporul era la 33 km de-a lungul curentului cu o viteză de (x + 6,5) km / h. apoi 33 / (x + 6,5) este timpul în care aburul se deplasează de-a lungul curentului.
Prin condiția, 4 / (x - 6.5) + 33 / (x + 6.5) = 1.
Rezolvând această ecuație, obținem x 2 - 37x + 146.25 = 0, x1 = 4.5 km / h și x2 = 32.5 km / h.
Vom efectua selecția soluțiilor obținute. Prin x am desemnat viteza proprie a aburului, în timp ce viteza curentului râului este de 6,5 km / h. prin urmare, x1 = 4,5 km / h nu se încadrează în sensul problemei (la această viteză barca nu ar pluti împotriva curentului). Prin urmare, viteza proprie a aburatorului este de 32,5 km / h. Răspuns: v = 32,5 km / h.
Condiția este luată din misiunile de pregătire aprobate de FIPI, astfel încât să nu pot reduce nici să adaug un cuvânt. În răspunsul - 2.
Am înțeles această problemă după cum urmează:
Din cauza problemei, călărețul a plecat după un timp după ce mașina a început să se miște. Permiteți motociclistului să plece când mașina era la A1. După ceva timp, motociclistul a urcat cu mașina în punctul A2 și sa întors, iar mașina a continuat să meargă înainte. Masina era în punctul Y, când călărețul pe drumul din spate ajungea la punctul "A". Prin condiția problemei, AY / AA1 = 3
AA1 + A1A2 + A2Y = 3 * AA1 -> A1A2 + A2Y = 2AA1 (**)
Pe de o parte, motociclistul și mașina au fost în același timp pe drum din momentul în care a plecat motociclistul și până când sa întâlnit cu mașina la punctul A2. prin urmare,
Pe de altă parte, un motociclist si o masina au fost în același timp, de călătorie din momentul reuniunii acestora la punctul A2 și până în momentul în care biciclistul a apărut la punctul A, iar masina - la punctul Y. (Prin urmare, calea înainte și după întâlnire, același motociclist UY și mașina, adică
Prin urmare, obținem că A1A2 = A2Y
Revenim la relația (**):
A1A2 + A2Y = 2AA1 -> 2A1A2 = 2AA1 -> A1A2 = AA1 = A2Y = N
A1A2 + A2Y = A2Y + A2Y = 2 * A2Y = 2 * AA1, prin urmare A2Y = AA1
A1A2 + A2Y = A1A2 + A1A2 = 2 * A1A2 = 2 * AA1, prin urmare A1A2 = AA1