Baza și dimensiunea unui spațiu vectorial
Definiția. Să presupunem că în spațiul vectorial \ (\ mathit \) există un set de vectori \ (e_1, e_2, e_n \) cu următoarele proprietăți:
1. Ele sunt independente liniar,
2. Orice alt vector din \ (\ mathit \) este combinația lor liniară.
Apoi, noi spunem că vectorul \ (e_1, e_2. E_n \) formează o bază de \ (\ mathit \), precum și numărul \ (n \) este dimensiunea \ (\ mathit \).
Dimensiunea spațiului vectorial \ (\ mathit \) este notată cu \ (dim \ mathit \).
În același spațiu vectorial, putem introduce diferite baze.
Un exemplu. Fie \ (\ mathit \) spațiul vectorial al coloanelor (2 \). Să \ (e_1 = (1,0) ^ T, e_2 = (0,1) ^ T \) \ (f_1 = (1,1) ^ T, f_2 = (1, -1) ^ T \). Nu este dificil să se arate că acești vectori din fiecare pereche sunt independenți liniar. Orice vector \ (u = (\ xi _1, \ xi_2) ^ T \) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor acestor perechi: \ (u = \ xi_1e_1 + \ xi_2e_2 = \ frac (\ xi_1 + \ xi_2) f_1 + \ frac (\ xi_1- \ xi_2) f_2 \).
Un exemplu. Să \ (\ mathit \) - spațiu vectorial de polinoame de gradul 2, luați în considerare următorul set de caracteristici: \ (p_1 (x) = x, \ quad p_2 (x) = x + x ^ 2, \ quad p_3 (x) = 1 + 2x ^ 2). Să arătăm că aceste polinoame formează baza unui spațiu vectorial. Independența lor liniară a fost discutată mai sus. Mai mult, am arătat că orice element \ (f (x) = c_1 + c_2x + c_3x ^ 2 \ în \ mathit \) poate fi reprezentat ca o combinație liniară \ (\ alpha _1p_1 (x) + \ alpha _2p_2 (x) + \ alpha _3p_3 (x) \) potrivit pentru \ (\ alpha _1, \ alpha _2, \ alpha _3 \). Substituind expresiile pentru funcțiile \ (p_1 (x), p_2 (x), p_3 (x) \) și egalează coeficienții de diferite puteri de \ (x \), obținem trei ecuații: \ (\ alpha _3 = c_1, \ quad \ alpha _1 + \ alpha _2 = c_2, \ quad \ alpha _2 + 2 \ alpha _3 = c_3 \). Este ușor de verificat că aceste ecuații au o soluție unică \ (\ alpha _3 = c_1, \ quad \ alpha _2 = c_3-2c_1, \ alpha _1 = c_2 + 2c_1-c_3 \).
Luăm un vector arbitrar \ (u \ în \ mathit \). Apoi, există o reprezentare a acestui vector sub forma unei combinații liniare de vectori de bază, \ [u = \ sum_ ^ n \ xi_k e_k. \]
Definiția. Numerele \ (\ xi_k \), \ (k = 1,2, n \) se numesc coordonatele vectorului \ (u \) în baza \ (e_1, e_2.E_n \).
Aprobarea. Coordonatele unui vector pe o bază dată sunt determinate în mod unic.
Dovediți această declarație.
Dacă \ (x = \ sum_ ^ n a_k e_k = \ sum_ ^ n b_k e_k \), apoi \ (\ sum_ ^ n (a_k - b_k) e_k = 0 \) și această egalitate \ ((\) - bază! ) poate fi efectuată numai în cazul în care \ (a_k - b_k = 0 \) pentru toate \ (k \)
Un exemplu. Să \ (\ mathit \) - dimensional spațiu vectorial \ (n \) - coloane. Să \ (e_1 = (1,0,0. 0) ^ T, e_2 = (0,1,0. 0) ^ T. E_n = (0,0. 0,1) ^ T \). Apoi, fiecare coloană \ (u = (\ xi_1, \ xi_2. \ Xi_n) ^ T = \ sum_ ^ n \ xi _ke_k \), astfel încât numerele \ (\ xi _k \) reprezintă coordonatele vectorului \ (u \), în această bază.
Destul de des există o problemă în aplicații de a verifica dacă un anumit set de vectori este liniar independent, dacă acestea constituie o bază în acest spațiu, sau alocarea sarcinilor într-un anumit set de vectori de o astfel de colecție, care formează baza. Toate aceste probleme pot fi rezolvate folosind teorema minoră de bază. Și anume, vectorul reprezentat în mod tipic ca o expansiune în unele baze, astfel încât acestea să poată fi reprezentate sub formă de linii. Formăm o matrice din rânduri, găsim rangul și minorul de bază. Locul în acest caz, va fi egal cu numărul de vectori liniar independenți în acest set, iar liniile de bază minore ce corespund vectorilor liniar independente dorite. În cazul în care gradul este egală cu dimensiunea spațiului inițial, rezultatele vectori liniar independenți constituie o bază.
1. Aflați dacă vectorii următori sunt independenți liniar: \ [a_1 = (2, -3,1), \ quad a_2 = (3, -1,5), \ quad a_3 = (1,3,2). \]
2. Determinați dacă vectorii următori sunt independenți liniar: \ [a_1 = (1,0,0,2,5), \ quad a_2 = (0,1,0,3,4), \ quad a_3 = (0, 0,1,4,7), \ quad a_4 = (2, -3,4,11,12). \]
3. Fie vectorii independenți liniar v (v_1, v_2, v_n \). Sunt vectorii \ (v_1-v_2, v_2-v_3, V_-v_n, v_n \) liniar independenți?
4. Găsiți toate valorile parametrului \ (\ lambda \) pentru care vectorul \ (b \) este o combinație liniară a vectorilor \ (a_1, a_2, a_3 \). \ [a_1 = (3,2,5), a_2 = (2,4,7), a_3 = (5,6,7), b = (1,3,5). \]
5. Să presupunem că \ (dim \ mathit = n