O fracțiune rațională este o fracțiune a formei. unde și sunt polinoame. O fracție rațională este numită corectă dacă gradul de numărător este mai mic decât numitorul; în caz contrar, se consideră că fracțiunea este nevalidă.
Fracțiunile raționale elementare sunt fracțiuni regulate ale formei:
2. unde este un număr mai mare decât unul;
3. în cazul în care. și anume un trinomial quadratic nu are rădăcini reale;
În toate cele patru cazuri, se presupune că sunt numere reale.
Considerăm integralele fracțiilor raționale elementare ale primelor două tipuri. Avem:
Pentru a integra fracțiunile de tipul al treilea, este selectat un pătrat complet în numitor și apoi integralele tabelului
Soluția. Să selectăm pătratul complet
Pentru integrarea fracțiunilor elementare ale patrulea tip în numărătorul și numitorul derivatului este izolat reduce integralei suma celor două integralele și al treilea tip.
Soluția. Transformăm fracțiunea: în numerotator vom selecta derivatul numitorului egal cu. dar că numărul nu se schimbă:
Să selectăm pătratul complet:
Integrarea fracțiunilor raționale prin descompunerea în fracțiuni elementare. Înainte de a integra o fracțiune rațională, trebuie să facem următoarele transformări algebrice:
1) dacă este dată o fracție rațională necorespunzătoare, atunci selectați o parte intregă a acesteia, adică prezent sub forma:
unde este un polinom, a este o fracție rațională regulată;
2) descompun numitorul fracțiunii în factori liniari și pătrați:
în cazul în care. și anume un trinomial quadratic nu are rădăcini reale;
3) descompun fracțiunea rațională corectă în fracțiuni elementare:
4) se calculează coeficienții nedeterminat pentru ceea ce determina această egalitate la un numitor comun, vom echivala coeficienții de puteri, cum ar fi din stânga și din dreapta ale identității care rezultă și de a rezolva un sistem de ecuații liniare în coeficienții necunoscute. Este posibil să se determine coeficienții într-un mod diferit, dând identitatea rezultă valori specifice variabile (rădăcini ale numitorul).
Ca rezultat, integrarea unei fracții raționale reduce la găsirea integralelor unui polinom la integralele fracțiilor raționale elementare.
Cazul 1. Numitorul are numai rădăcini reale diferite, adică se descompune în factori care nu se repetă în primul grad.
Soluția. Din moment ce fiecare dintre binomi incluse în numitorul primul grad, această fracție rațională adecvată poate fi reprezentată ca o sumă de fracții elementare de primul tip:
Presupunând un numitor comun și echivalând numeratorii, obținem