Informații generale despre fracții zecimale.
§ 102. Explicații preliminare.
În secțiunea anterioară am considerat fracțiuni cu toți numitorii posibili și le-am numit fracțiuni obișnuite. Am fost interesați de fiecare fracțiune care a apărut în procesul de măsurare sau divizare, indiferent de numitorul pe care l-am obținut.
Acum, printre multitudinea de fracțiuni vom extrage fracțiuni cu numitori: .... 10, 100, 1000, 10000, etc. adică acele fracțiuni ale căror numitorii sunt singurele numere unitate descrise (1), urmat de zerouri (unul sau mai mulți ). Astfel de fracțiuni se numesc zecimale.
Iată exemple de fracții zecimale:
Cu zecimale pe care le-am întâlnit înainte, dar nu am indicat proprietăți speciale. Acum arătăm că au proprietăți remarcabile, ca urmare a faptului că toate calculele cu fracțiuni sunt simplificate.
§ 103. O imagine a unei fracții zecimale fără un numitor.
Fracțiunile zecimale sunt, de obicei, scrise nu la fel de obișnuite, ci în conformitate cu regulile prin care sunt scrise numere întregi.
Pentru a înțelege cum să scrieți o fracție zecimală fără un numitor, trebuie să vă amintiți cum să scrieți pe sistemul zecimal orice număr întreg. Dacă, de exemplu, vom scrie un număr din trei cifre utilizând doar numărul 2, adică numărul 222, atunci fiecare din aceste două pagini va avea o anumită valoare, în funcție de locul pe care îl are în număr. Primele două din dreapta denotă unități, al doilea - zeci, al treilea - sute. Astfel, orice cifră care stă în stânga oricărei alte cifre denotă unități de zece ori mai mari decât cele indicate de figura precedentă. Dacă nu există descărcare, atunci scrieți în loc zero.
Deci, în întregul număr pe primul loc în dreapta sunt unități, în al doilea rând - zeci, etc.
Acum am pus întrebarea despre ce fel de unitate se va obține, dacă, de exemplu, în numărul 222 din partea dreaptă, vom aloca încă o cifră. Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să țineți cont de faptul că ultimele două (prima din dreapta) denotă unități.
Prin urmare, dacă, după o deducere care denotă unități, vom scrie, după o mică deviere, o altă cifră, de exemplu 3, atunci vom desemna unități care sunt de zece ori mai mici decât cele precedente. cu alte cuvinte, va desemna zeci de unități; un număr va fi obținut, conținând 222 unități întregi și 3 zecimi dintr-o unitate.
Se obișnuiește să se introducă o virgulă între întreaga și partea fracționată a numărului, adică scrieți astfel:
Dacă adăugăm o altă cifră după triplet în acest număr, de exemplu 4, atunci acesta va însemna 4 sute de unitate; numărul va arăta astfel:
și a pronunțat: două sute douăzeci și două întregi, treizeci și patru sute.
O nouă figură, de exemplu 5, care este atribuită acestui număr, ne dă o mie. 222,345 (douăsprezece douăzeci și doi, trei sute patruzeci și cinci de mii).
Pentru o mai mare claritate, locația în numărul de numere întregi și cifre fracționate poate fi reprezentată sub forma unui tabel:
Astfel, am explicat cum să scriem fracții zecimale fără un numitor. Vom scrie mai multe astfel de fracțiuni.
Pentru a scrie fără un numitor o fracțiune de 5/10. trebuie să luăm în considerare faptul că nu are numere întregi și, prin urmare, întregul loc trebuie ocupat de zero, adică 5/10 = 0,5.
O fracțiune de 2 9/100 fără un numitor va fi scrisă astfel: 2,09, adică în loc de zecimi, zero ar trebui să fie pus. Daca am omis acest 0, am avea o fractiune foarte diferita, si anume 2,9, adica doua intregi si noua zecimi.
Deci, atunci când scrieți fracții zecimale, trebuie să indicați zero cifre întregi și cifre fracționate:
0,325 - fără întreg,
0,012 - nu există numere întregi și nu există nici o zecime,
1,208 - nu o sută,
0.20406 - nu există nici un întreg, nici sute și nici zece mii.
Numerele aflate în partea dreaptă a virgulei sunt de obicei denumite zecimale.
Pentru a evita erorile atunci când scrieți fracții zecimale, trebuie să ne amintim că după virgulă în imaginea punctului zecimal ar trebui să fie cât mai multe cifre ca va fi zerouri la numitor, în cazul în care această fracțiune, am scris la numitor, adică. E.
0,1 = 1/10 (în numitor un zero și după o cifră zecimală);
§ 104. Atribuirea de zerouri fracțiunii zecimale.
În paragraful anterior, sa spus cum să reprezinte fracțiunile zecimale fără numitori. Importanța scrierii zecimale este zero. Fiecare fracție zecimală corectă are un zero în loc de întregi pentru a indica faptul că nu există numere întregi ale unei astfel de fracțiuni. Vom scrie acum mai multe zecimale diferite folosind cifrele 0, 3 și 5.
0,35 - 0 întregi, 35 sute,
0.035 - 0 întreg, 35 mii,
0,305 - 0 întreg, 305 mii,
0.0035 - 0 întreg, 35 zece mii.
Să vedem acum ce valoare valorile n, stabilite la sfârșitul fracțiunii zecimale, adică în dreapta, au.
Dacă luăm un număr întreg, de exemplu 5, puneți o virgulă după ea și apoi scrieți un zero după virgulă, atunci acest zero va însemna zecimi zero. În consecință, acest zero atribuit la dreapta de valoarea numărului nu va afecta, adică,
Acum luăm numărul 6.1 și îi atribuim un zero în dreapta, obținem 6.10, adică după ce virgula noastră era de 1/10. dar a fost de 10/100. dar 10/100 sunt egale cu 1/10. Prin urmare, valoarea numărului nu sa schimbat, iar din atribuirea la dreapta de la zero, numai tipul numărului și pronunției s-au schimbat (6,1 - șase o zecime, 6,10 - șase zece sute).
Cu un raționament similar putem vedea că atribuirea zerourilor în zecimal spre dreapta nu-și schimbă valoarea. Prin urmare, putem scrie următoarele egalități:
1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6.7 = 6.70000 și așa mai departe.
Dacă atribuim zerouri la stânga fracțiunii zecimale, atunci nu vor contează. De fapt, dacă scriem zero la stânga numărului 4,6, atunci numărul va lua forma 0, 4,6. Unde este zero? Stă în fața a zeci, adică arată că nu există zeci de ani în acest număr, dar este clar și fără zgârieturi.
Cu toate acestea, trebuie amintit că uneori zerourile sunt atribuite fracțiunilor zecimale. De exemplu, există patru fracții: 0,32; 2.5; 13.1023; 5.238. Alocați la zerouri drepte fracțiunile care au mai puține zecimale după virgulă: 0.3200; 2.5000; 13.1023; 5.2380.
Pentru ce se face? Atribuind zerouri din dreapta, avem fiecare număr după virgulă patru cifre, aceasta înseamnă că fiecare numitor este de 10 000, precum și la atribuirea de zerouri în primul numitor a fost de 100, în a doua 10, a treia 10.000 și al patrulea în 1 000. Deci, , atribuirea de zero-uri, am echilibrat numărul de zecimale ale fracțiunilor noastre, t. e. le-a dus la un numitor comun. Prin urmare, reducerea de zecimale la numitor comun efectuat prin atribuirea zerourile acestor fracții.
Pe de altă parte, dacă o fracție zecimal are zerouri în dreapta, atunci putem să le scădem fără a schimba valoarea, de exemplu: 2.60 = 2.6; 3,150 = 3,15; 4,200 = 4,2.
Cum ar trebui să înțelegem o astfel de respingere a zerourilor din dreapta fracțiunii zecimale? Este echivalentă cu reducerea acesteia, iar acest lucru este evident dacă notăm aceste zecimale cu numitorul:
§ 105. Comparația zecimalelor în funcție de valoare.
Atunci când se utilizează fracții zecimale, este foarte important să se poată compara fracțiunile și să se răspundă la întrebarea care dintre acestea sunt egale, care sunt mai mari și care sunt mai puțin. Comparația zecimalelor se face diferit decât compararea numerelor întregi. De exemplu, întregul număr din două cifre este întotdeauna mai mare decât numărul dintr-o singură cifră, indiferent câte unități sunt într-un număr unic; Numărul de trei cifre este mai mare decât numărul de două cifre și, cu atât mai puțin clar. Dar când se compară fracții zecimale, ar fi eronat să se ia în considerare toate semnele cu care sunt scrise fracțiile.
Luați două fracții: 3,5 și 2,5 și comparați-le cu magnitudinea lor. Ele au aceleași zecimale, dar prima fracție are 3 numere întregi, iar cea de-a doua are 2. Prima fracțiune este mai mare decât a doua, adică,
Luăm și alte fracții: 0,4 și 0,38. Pentru compararea acestor fracții, este util să se atribuie zero la dreapta primei fracții. Apoi vom compara fracțiile de 0,40 și 0,38. Fiecare dintre ele are două cifre după virgulă: înseamnă că aceste fracții au același numitor 100.
Trebuie doar să comparăm numerarii, dar numărul 40 este mai mare decât 38. Prin urmare, prima fracțiune este mai mare decât a doua, adică,
Prima fracțiune are mai multe zecimi mai mult decât cea de-a doua, dar a doua fracție are încă opt zecimale, dar acestea sunt mai puțin de o zecime, deoarece 1/10 = 10/100.
Să comparăm acum astfel de fracțiuni: 1.347 și 1.35. Alocați dreptului la a doua fracțiune zero și vom compara zecimale: 1.347 și 1.350. Toate piesele sunt aceleași pentru ele, astfel încât trebuie comparate doar părțile fracționate: 0,347 și 0,350. Numitorul acestor fracții este general, dar numărul de fracțiune a celei de-a doua fracțiuni este mai mare decât cel al primului, astfel încât a doua fracțiune este mai mare decât prima, adică 1,35> 1,347.
Să comparăm, în sfârșit, încă două fracții: 0,625 și 0,62473. Se atribuie două fracții din prima fracție, astfel încât deversările să fie egale, iar fracțiunile obținute se compară: 0,62500 și 0,62473. Numitorii printre ele sunt aceleași, dar numărătorul primei fracțiuni 62 500 mai mult decât numărătorul celei de a doua fracțiune de 62 473. Prin urmare, prima fracție este mai mare decât al doilea, adică. E. 0625> 0.62473.
Pe baza celor de mai sus, putem trage următoarea concluzie: a două fracții zecimale, care este mai mare, care are un număr întreg mai mare; atunci când numerele sunt egale, fracțiunea este mai mare, pentru care numărul zecilor este mai mare; când numerele întregi și zeci sunt egale, fracțiunea este mai mare, pentru care numărul de sute este mai mare și așa mai departe.
§ 106. Creșterea și scăderea fracțiunii zecimale în 10, în 100, în 1000, etc. ori.
Știm deja că atribuirea zerourilor unei fracții zecimale nu afectează amploarea acesteia. Când am studiat întregi, am văzut că fiecare zero atribuită dreptului a crescut numărul cu un factor de 10. Nu este greu de înțeles de ce sa întâmplat acest lucru. Dacă luăm un număr întreg, cum ar fi 25, și atribuie acestuia dreptul de zero, atunci numărul va crește cu 10 de ori, numărul 250 este de 10 ori mai mult decât 25. În cazul în care dreptul de a existat un zero, atunci numărul 5, ceea ce însemna anterior o unitate, vom nota acum zeci, iar numărul 2, care denota mai devreme zeci, a început acum să denumească sute. Prin urmare, datorită apariției lui zero, vechile categorii au fost înlocuite de altele noi, au fost lărgite, au mutat un loc în stânga. Atunci când este necesar pentru a crește fracția zecimală, de exemplu, de 10 ori, avem, de asemenea, trebuie să se mute biți un loc la stânga, dar această mișcare nu poate fi atins prin intermediul zero. O fracție zecimală constă dintr-o parte integrală și fracționată, iar o virgulă reprezintă limita dintre ele. În partea stângă a virgulei este cea mai scăzută cifră întregi, în partea dreaptă este cea mai mare parte fracționată. Luați în considerare fracțiunea:
Cum să mutăm categoriile în ea, cel puțin într-un singur loc, cu alte cuvinte, cum îl putem mări de 10 ori? Dacă mutăm virgul un loc în dreapta, atunci mai întâi va afecta soarta celor cinci: vine din regiunea numerelor fracționare în întreaga regiune. Numărul are apoi forma: 12345678. Schimbarea a avut loc cu toate celelalte figuri, și nu numai cu cele cinci. Toate numerele incluse în număr au început să joace un rol nou, au avut loc următoarele (vezi tabelul):
Toate categoriile și-au schimbat numele, iar toate unitățile digitale, ca să spunem așa, au crescut cu un singur loc. Din acest motiv, numărul total a crescut de 10 ori. Astfel, mutarea unui caracter de virgulă la dreapta mărește numărul cu un factor de 10.
Să luăm în considerare câteva exemple:
1) Faceți o fracțiune de 0,5 și mutați virgul un loc spre dreapta; primim numărul 5, care este de 10 ori mai mare decât 0,5, deoarece înainte de cele cinci zecimi desemnate ale unei unități, acum aceasta denotă unități întregi.
2) Transferați numărul de 1,234 virgule pe două caractere spre dreapta; numărul va fi de 123,4. Acest număr este de 100 de ori mai mare decât înainte, deoarece numărul 3 a început să denumească unități, numărul 2 - zeci și figura 1 - sute.
Astfel, pentru a mări fracțiunea zecimal de 10 ori, trebuie să mutați virgula în ea cu un caracter la dreapta; Pentru a o mări de 100 de ori, trebuie să mutați două virgule în dreapta; să crească cu 1.000 de ori - cu trei semne în dreapta și așa mai departe.
Dacă nu există suficiente cifre pentru un număr, atunci la dreapta sunt atribuite zerouri. De exemplu, vom crește fracțiunea 1.5 cu un factor de 100, transferând virgula la două caractere; obținem 150. Am crescut fracțiunea de 0,6 de 1000 de ori; avem 600.
În schimb, dacă doriți să reduceți fracțiunea zecimală în 10, în 100, în 1000, etc. ori, trebuie să mutați virgul în ea în stânga pentru semnele unu, doi, trei etc. Fracțiunea trebuie să fie 20,5; reduceți-l de 10 ori; Pentru a face acest lucru, mutați virgul un caracter în stânga, fracțiunea va arăta ca 2.05. Reducem fracțiunea de 0.015 de 100 de ori; obținem 0.00015. Să reducem numărul 334 de 10 ori; obținem 33,4.
Tehnologia UCoz este utilizată