- Condiții inițiale.
- Un set de puncte în care să găsești o soluție.
- Ecuația diferențială însăși, scrisă într-o formă specială, care va fi descrisă în detaliu în acest capitol.
Această secțiune descrie modul de rezolvare a ODE utilizând funcția rkfixed. Secțiunea începe cu un exemplu de rezolvare a celei mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi. Apoi se va arăta cum este posibilă rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordin superior.
Ecuații diferențiale de ordinul întâi
O ecuație diferențială de ordinul întâi este o ecuație care nu conține derivate mai mari decât prima ordine a funcției necunoscute. Figura 1 prezintă un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale relativ simple:
cu condițiile inițiale: y (0) = 4
Funcția rkfixed din Figura 1 folosește metoda Runge-Kutta pentru a găsi soluția. Ca rezultat al soluției, obținem o matrice având următoarele două coloane:- Prima coloană conține punctele la care se caută soluția ecuației diferențiale.
- A doua coloană conține valorile soluției găsite la punctele corespunzătoare.
Figura 1: Soluția unei ecuații diferențiale de ordinul întâi.
Funcția rkfixed are următoarele argumente:
Vectorul condițiilor inițiale de dimensiune n. unde n - ordinul ecuației diferențiale sau numărul de ecuații în sistem (dacă este rezolvat sistemul de ecuații). Pentru ecuații diferențiale de ordinul unu, cum ar fi, de exemplu, pentru ecuația dată în figura 1, valorile inițiale ale vectorului degenerează într-un singur punct y0 = y (x 1).
Punctele limită ale intervalului pe care se caută soluția ecuațiilor diferențiale. Condițiile inițiale date în vectorul y sunt valoarea soluției la punctul x1.
Numărul de puncte (fără a include punctul inițial) în care se solicită o soluție aproximativă. Acest argument determină numărul de rânduri (1 + npoints) din matricea returnată de funcția rkfixed.
O funcție care returnează o valoare ca vector al elementelor care conțin primii derivați ai funcțiilor necunoscute.
Partea cea mai dificilă a soluției ecuației diferențiale constă în determinarea funcției D (x, y), care conține vectorul primilor derivați ai funcțiilor necunoscute. În exemplul prezentat în figura 1, a fost suficient de ușor să se rezolve ecuația pentru primul derivat. și defini funcția D (x, y). Uneori, în special în cazul ecuațiilor diferențiale neliniare, acest lucru poate fi dificil. În astfel de cazuri, uneori este posibil să se rezolve ecuația într-o formă simbolică și să se substituie această soluție în definiția funcției D (x, Y). Utilizați comanda Solve despre variabila din meniul Symbolics pentru a face acest lucru.
Figura 2: Un exemplu mai complex care conține o ecuație diferențială neliniară.
Ecuații diferențiale de ordinul doi
Odată ce ați învățat cum să rezolvați o ecuație diferențială de ordinul întâi, puteți începe să rezolvați ecuații diferențiale de ordin superior. Începem cu o ecuație diferențială de ordinul doi. Principalele diferențe față de ecuația de ordinul întâi sunt următoarele:- Vectorul condițiilor inițiale y constă din două elemente: valorile funcției și primul ei derivat la punctul de început al intervalului x1.
- Funcția D (t, y) este acum un vector cu două elemente:
- Matricea obținută ca rezultat al soluției conține acum trei coloane: prima coloană conține valorile t în care se caută soluția; a doua coloană conține y (t); și a treia - y '(t).
Exemplul prezentat în Figura 3 arată cum să rezolvăm următoarea ecuație diferențială de ordinul doi:
Figura 3: Soluția unei ecuații diferențiale de ordinul doi.
Ecuații de ordin superior
Metoda de rezolvare a ecuațiilor diferențiale de ordin superior este dezvoltarea unei tehnici care a fost utilizată pentru a rezolva ecuațiile diferențiale de ordinul doi. Principala diferență este următoarea:- Vectorul valorilor inițiale ale y constă acum din n elemente care determină condițiile inițiale pentru funcția dorită și derivatele ei y. y '. y ". y (n-1)
- Funcția D este acum un vector care conține n elemente:
- Matrix, soluția rezultată conține acum n coloane: prima - pentru valorile t, iar coloanele rămase - pentru valori ale lui y (t), y '(t), y' „(t). y (n-1) (t).
Exemplul prezentat în Figura 4 arată cum să rezolvăm următoarea ecuație diferențială de ordinul 4:
cu condițiile inițiale:
Figura 4: Soluția unei ecuații diferențiale de ordin superior.