Scopul lucrării este o verificare experimentală a teoremei Huygens-Steiner și determinarea momentelor de inerție a corpurilor de formă simplă.
În cadrul experimentului, se utilizează relația dintre perioada de oscilație a pendulului de torsiune și momentul de inerție. Ca pendul, a fost aleasă o platformă rotundă, suspendată într-un câmp gravitațional pe trei fire lungi (suspensie trifilară). Platforma poate produce vibrații torsionale în jurul axei verticale. Pe platformă sunt plasate corpuri de diferite forme, se măsoară perioadele de oscilații ale pendulului și se determină momentele de inerție ale acestor corpuri. Teorema Huygens-Steiner este verificată de corespondența dintre dependențele experimentale și teoretice ale momentelor de inerție ale sarcinilor de la distanța lor până la centrul platformei.
Ecuația de bază a mișcării de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe are forma
unde w este viteza unghiulară de rotație, J este momentul inerției corpului față de axa de rotație și M este momentul forțelor exterioare față de această axă.
Fig. 20. Dispozitiv de suspendare trifilară.
Teorema lui Huygens-Steiner. dacă momentul inerției corpului față de o anumită axă de rotație care trece prin centrul de masă are valoarea J0. atunci cu privire la orice altă axă situată la o distanță a de la prima și paralelă cu ea, aceasta va fi egală cu
unde m este masa corpului.
Pentru a verifica teorema Huygens-Steiner în această lucrare, sunt investigate vibrațiile de torsiune ale unui corp rigid pe o suspensie trifilară. Punctul trifilar este o platformă circulară cu raza R. suspendată pe trei filamente dispuse simetric de aceeași lungime, întărite la margini (Figura 20). În partea de sus, aceste filamente sunt, de asemenea, atașate simetric la discul cu dimensiuni ceva mai mici (raza r). Platforma poate efectua oscilații torsionale în jurul axei verticale OO ¢. perpendicular pe planul său și trecând prin centrul său. Această mișcare a platformei conduce la o schimbare a poziției centrului de greutate în înălțime.
Dacă platforma de masă m. rotirea într-o singură direcție, a crescut la o înălțime h. atunci creșterea energiei sale potențiale va fi egală cu
unde g este accelerația datorată gravitației. Rotirea în direcția opusă, platforma va ajunge la o poziție de echilibru (h = 0) cu o energie cinetică egală cu
unde J este momentul inerției platformei, w0 este viteza unghiulară de rotație a platformei în momentul trecerii poziției de echilibru.
Dacă nu luăm în considerare activitatea forțelor de fricțiune, pe baza legii conservării energiei mecanice, avem:
Presupunând că platforma efectuează oscilații armonice de torsiune, putem scrie dependența deplasării unghiulare a platformei a pe timpul t în formă
unde a este deplasarea unghiulară a platformei, a0 este unghiul de rotație maximă a platformei, adică amplitudinea deplasării unghiulare și T este perioada de oscilație. Pentru viteza unghiulară w. care este prima dată derivată a mărimii deplasării, poate fi scrisă
În momentele de trecere a platformei prin poziția de echilibru (t = 0, 0.5T ...), cantitatea w (t) va fi maximă și egală cu
Din expresiile (7.5) și (7.8) rezultă că
Dacă l este lungimea firelor de suspensie, R este distanța de la centrul platformei până la punctele de atașare ale filetelor de pe ea, r este raza discului superior (Figura 20), atunci este ușor de văzut că
și cu abaterea maximă a platformei de la poziția de echilibru
La unghiuri mici de deformare a0, valoarea sinusoidală a acestui unghi poate fi înlocuită pur și simplu cu valoarea a0. Luând în considerare, de asemenea, că pentru R < În acest caz, legea conservării energiei (7.9) are forma: din care rezultă că Conform formulei (7.16), este posibil să se determine experimental momentul inerției unei platforme sau platformei goale cu corpul plasat pe ea, deoarece toate cantitățile din partea dreaptă a formulei sunt măsurate direct. Trebuie să ne amintim că m este masa totală a platformei și a corpului testat pe ea. Schema de instalare este prezentată în Fig. 20. Raportul dintre raza platformei și lungimea firelor de suspendare R / l <0,05, что соответствует приближениям, используемым при выводе формулы (7.16). Corpurile de pe platformă trebuie să fie așezate strict simetric, astfel încât să nu existe o înclinare a platformei. Pentru a facilita determinarea poziției mărfurilor și instalarea mai precisă pe platformă, liniile radiale și cercurile concentrice sunt distanțate la o anumită distanță una față de cealaltă (5 mm). Impulsul de rotație necesar declanșării vibrațiilor de torsiune este comunicat platformei prin rotirea discului superior în jurul axei. Acest lucru este realizat prin utilizarea unei pârghii fixate pe discul superior. Cu această excitare, nu există aproape nici un alt mod de oscilație, a cărui prezență face dificilă măsurarea. La măsurare este inacceptabil să se folosească amplitudini de oscilație mai mari de 10 °. Măsurarea timpului de oscilație poate fi efectuată fie cu un cronometru de mână, fie cu un cronometru. Ordinea de executare a muncii Sarcina 1. Măsurarea momentului de inerție al unei platforme goale Măsurarea și prelucrarea rezultatelor 1. Momentul inerției unei platforme goale este determinat de formula (7.16). În acest caz, perioada de oscilații a platformei goale T și eroarea sa sunt determinate experimental, iar cantitățile l, R, r, m și erorile lor sunt date ca setări permanente. 2. Informați platforma impulsului rotativ și măsurați timpul t dintr-un anumit număr (N = 15 - 20) din vibrațiile totale. Astfel de măsurători se repetă de 5 ori. Rezultatele sunt înregistrate în tabelul 1 al raportului. 3. Din datele experimentale, valoarea perioadei de oscilație torsiune se găsește pentru fiecare experiment. 4. Gasiti valoarea medie si eroarea totala a perioadei de oscilatie. Eroarea sistematică în măsurarea perioadei poate fi egală. 5. Calculați momentul inerției platformei JPL. Găsiți amploarea erorii relative și absolute pentru momentul inerției platformei. 6. Teoretic, se calculează momentul inerției platformei Jpl. pe baza masei și dimensiunilor sale. Găsiți eroarea acestui calcul. 7. Comparați momentul de inerție calculat experimental și teoretic calculat al platformei goale. Indicați câte procente diferă de cea experimentală față de cea teoretică: Sarcina 2. Determinarea momentelor de inerție ale corpurilor unei forme date Măsurarea și prelucrarea rezultatelor 1. Platforma este încărcată alternativ cu corpurile investigate în așa fel încât centrul lor de masă să coincidă cu axa de rotație a platformei. Deoarece corpurile investigate sunt selectate plăci care au forma unui pătrat, a unui dreptunghi, a unui triunghi echilateral, a unui disc, precum și a altor corpuri de formă geometrică regulată. 2. Măsurați timpul de mai multe oscilații ale întregului sistem. Pentru fiecare organism, măsurătorile sunt efectuate de 3 până la 5 ori. Rezultatele măsurătorilor sunt înregistrate în tabelul 2 al raportului. 3. Calculați momentele de inerție ale platformelor încărcate JN și erorile acestora. Trebuie remarcat faptul că, în ecuația (7.16) trebuie înlocuită cu suma maselor corpului și platforma ca în eroare de greutate eroare eroare formulă egală cu greutatea totală a corpului și a platformei. 4. Folosind faptul că momentul inerției este o cantitate aditivă, calculați momentele de inerție ale corpurilor: JE = JN - JplE. Găsiți amploarea erorii absolute și relative pentru momentele de inerție ale corpurilor. 5. Comparați valorile obținute experimental ale momentelor de inerție cu cele calculate teoretic (a se vedea apendicele). Rezultatele calculelor sunt înregistrate în tabelul 3 al raportului. Sarcina 3. Verificarea teoremei Huygens-Steiner Măsurarea și prelucrarea rezultatelor 1. Pentru a verifica teorema lui Huygens-Steiner, sunt utilizate două sau mai multe corpuri identice având o formă cilindrică. 2. Stabiliți încărcăturile în centrul platformei, așezându-le unul pe celălalt. Excizați vibrațiile de torsiune ale platformei. Măsurați timpul t al mai multor oscilații (N = 15 - 20). Datele sunt înregistrate în tabelul 4 al raportului. 3. Aranjați sarcinile în mod simetric pe platformă în raport cu axa de rotație. Măsurați timpul de oscilație pentru 5 până la 7 poziții ale bunurilor, deplasându-le treptat spre marginile platformei. Introduceți în tabelul 4 valorile distanțelor față de centrul de masă al fiecărui corp a spre centrul platformei, numărul de oscilații N și timpul acestor oscilații tN. 4. Pentru fiecare poziție a mărfurilor se determină perioada de vibrație a mărfurilor Ti. Fig. 21. Reprezentarea schematică a dependenței lui J de a 2 5. Introduceți valorile unui 2 în tabel. 6. Pentru fiecare poziție a încărcăturii, momentul inerției platformei cu sarcini Ji este determinat de formula (7.16). 7. Valoarea obținută a momentului de inerție Ji este aplicată graficul momentului de inerție al organelor de sistem ale distanței pătrat la centrul de masă al mărfurilor și axa de rotație 2 (schematic această relație este prezentată în Fig. 21). După cum rezultă din teorema lui Huygens-Steiner, acest grafic ar trebui să fie o linie dreaptă cu un coeficient unghiular egal cu 2 mg. unde mrp este masa unei încărcături. De asemenea, intercepta pe axa ordonată este suma momentelor de inerție a încărcăturilor platforma neîncărcate și momentele de inerție JPL + b = 2J0gr. 8. Din dependența J = f (a 2), determinați valoarea mgr și valoarea lui b. Comparați valoarea obținută cu masele de bunuri utilizate la locul de muncă, precum și valoarea obținută de b cu valoarea calculată. Coincidența acestor cantități (cu o eroare de calcul) confirmă, de asemenea, teorema lui Huygens-Steiner. 1. Scrieți ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație. 2. Ce se numește momentul inerției unui punct material, un corp solid? 3. Ce se numește momentul forței? 4. Poziționați teorema lui Huygens-Steiner. 5. Formulează legea conservării energiei mecanice. 6. Cum se calculează energia cinetică a unui corp rotativ? 7. Notați ecuația vibrațiilor torsionale armonice. 8. Cum se determină viteza unghiulară de rotație, viteza unghiulară maximă? 9. Cum în această lucrare se calculează înălțimea maximă a centrului de greutate al platformei? 10. Obțineți o formulă pentru calcularea momentului inerției platformei. Cum se calculează momentul inerției corpului pe platformă? 11. Cum se calculează momentele de inerție ale platformei și ale corpurilor propuse pe baza dimensiunilor și a formelor lor geometrice? 12. Cum, folosind graficul J de la a 2, se calculează masa fiecărei sarcini (în sarcina 3). Lucrarea de laborator nr. 8Articole similare