1. Integrarea directă.
2. Integralele unor funcții complexe.
3. Integrarea prin metoda substituției unei variabile (metoda de substituție).
4. Metoda de integrare prin părți.
Prin integrarea directă realiza o astfel de metodă de integrare, în care transformarea integrală prin integrantul și utilizarea proprietăților integrale nedefinite identică este una sau mai multe integralele tabelare.
Soluția. Utilizăm proprietățile unui integral nedefinit: reprezentăm integralul ca sumă și diferență a integralelor corespunzătoare:
=. Luăm constantele în spatele semnului integral:
și folosiți integralele tabelului. Avem asta =.
Soluția. Fiecare termen sub semnul integrat este reprezentat ca o putere cu un exponent rațional. Pentru aceasta, aplicăm următoarele proprietăți ale gradului: a -n =; . atunci
=. Noi reprezentăm acest integral ca sumă și diferență de integrale, derivăm constantele dincolo de semnul integral:
. Utilizarea integratului tabular. obținem: = = = = = =
Soluția. Împărțind numerotatorul numeric cu numitorul, obținem =.
Reprezentăm acest integral ca sumă și diferență dintre integrale, punem constantele în paranteze:
Soluția. Extinzând parantezele și aplicând integralele tabelului, obținem:
Considerăm funcțiile formei f (kx + b) ca niște funcții complicate, unde k și b sunt numere reale. Deci, sunt exemple de funcții complexe. În argumentul acestor funcții, variabila x este numai la prima putere!
Pentru a găsi integralele anumitor funcții complexe, folosim formula :. Valabilitatea acestuia poate fi ușor verificată prin diferențierea celor două părți.
De asemenea, puteți utiliza următorul algoritm:
1. Selectați integral tabelul la care sunt reduse aceste date.
2. În loc de x în integralul tabelului, înlocuiți expresia kx + b din integrala originală.
3. Adăugați un multiplicator în partea dreaptă. unde k este coeficientul de x.
Luați în considerare determinarea integrală a unor funcții complexe prin exemple.
Soluția. Vedem că sub semnul integrat există o anumită funcție complicată. Utilizăm tabelul integral.
În exemplul nostru, argumentul este unghiul 2x. Să selectăm coeficientul k. valoarea în fața x: k = 2, prin urmare, trebuie să adăugăm un factor la partea dreaptă. care este. Atunci vom obține asta.
Soluția. Există o funcție complicată sub semnul integrat. Utilizăm tabelul integral.
În exemplu, expresia 1 este argumentul. Să selectăm coeficientul k. (k = -1), prin urmare, adăugăm factorul (-1) în partea dreaptă. Atunci vom obține asta.
Soluția. Există o funcție complicată sub semnul integrat. Utilizăm tabelul integral.
În exemplu, expresia este 0,5x + 3 ca argument. Să selectăm coeficientul k. în fața x: k = 0,5. în consecință, în partea dreaptă se adaugă factorul 1: 0,5 = 2. Atunci vom obține asta.
Soluția. Există o funcție complicată sub semnul integrat. Utilizăm tabelul integral.
În exemplu, expresia este 5-3x. Să selectăm coeficientul k. (k = -3), prin urmare, adăugăm factorul (-1/3) în partea dreaptă. Atunci vom obține asta =.
- Integrarea prin înlocuirea unei variabile (metoda substituției).
Nu este întotdeauna posibilă calcularea integratului dat prin integrarea directă sau luarea acestuia ca un element integrat al unei anumite funcții complicate. Una dintre metodele cele mai eficiente este metoda de substituire. Esența acestei metode este că, prin introducerea unei noi variabile, este posibil să se reducă integritatea dată unui nou integral, care este cel mai adesea tabular.
Metoda de substituție se bazează pe afirmația, care este o consecință a regulii de diferențiere a derivatului unei funcții compuse. Fie o funcție complexă y = f (g (x)). Apoi integrala originală poate fi redusă la forma :. Această formulă se numește formula pentru schimbarea variabilelor într-un integru indefinit.
Oferim un algoritm pentru găsirea unui integral nedefinit prin metoda de modificare a unei variabile.
- Introducem o nouă variabilă u în așa fel încât sub semnul integrat există o funcție care conține u. și derivatul u (u = g (x)).
- Găsim du cu formula: du = u'dx.
- Prin dx expres du (în care amintim că, dacă factorul într-o parte a formulei este în numărătorul, cealaltă parte a merge în numitorul și invers: dacă factorul este la numitor, apoi o altă parte merge în numărătorul).
- Înlocuim u și dx în integralul original. În cazul în care substituția este adevărată, atunci aceiasi factori vor fi redusi si integralul este redus la un tabel cu privire la variabila u. .
- Calculați integral cu variabila u.
- Treceți de la variabila de integrare la variabila inițială x.
Luați în considerare aplicarea metodei de substituție pe exemple specifice.
Soluția. 1. Se efectuează substituția u = x 2 pentru a ajunge la integrarea funcției e și.
2. Se găsește du cu formula du = u'dx: du = (x2) 'dx = 2xdx.
3. Exprimăm dx din expresia elementului 2 (du = 2xdx) :.
4. Înlocuiți u și dx în integrala originală: =. Vedem că x poate fi redus și ajunge la un integral cu privire la variabila u :.
5. Pentru a gasi integralele rezultate, constanta este luata in afara semnului integral :. Din tabelul integralelor nedeterminate, constatăm că =.
Soluția. 1. Efectuați substituția u =. Apoi sub semnul integrat va exista o funcție de u () și derivatul u (u '= cosx).
2. Se găsește după formula du = u'dx: du = () 'dx = cosxdx.
3. Exprimăm dx din expresia elementului 2 (du = cosxdx) :.
4. Înlocuiți u și dx în integrala originală: =. Vedem că cosx poate fi redus și ajunge la un integral cu privire la variabila u :.
5. Din tabelul integralelor nedeterminate, constatăm că =.
Esența metodei de integrare prin părți corespunde complet numelui său. Ideea este că la calcularea integralului prin această metodă, integrand este reprezentat ca produsul a doi factori u și dv. și dx are loc în mod obligatoriu în dv. Apoi, utilizați formula de integrare în părți:
În calcularea integralelor prin metoda părții parțiale, cea mai importantă este de a împărți integrand în u și dv. Indicăm câteva tipuri de integrale care pot fi calculate convenabil prin integrarea pe părți:
1. Dacă o funcții trigonometrice logaritmică sau invers (arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx) găsit sub semnul integral. atunci ele sunt desemnate ca și. factorii rămași sunt pentru dv.
2. În integrala formei. . . unde P (x) este un polinom, k-const, și ia polinomul P (x), factorii rămași pentru dv.
Pentru a găsi integralul nedefinit prin metoda prin părți, se poate folosi următorul algoritm:
1. Împărțiți integrand în u și dv (în conformitate cu regula considerată mai sus).
3. Înlocuiți u, v, d și dv în formula și calculați integralul rezultat.
Luați în considerare aplicarea metodei de integrare prin părți pe exemple.
Soluția. 1. Deoarece funcția logaritmică are loc sub semnul integral, o luăm ca u: u = lnx. Luăm factorii rămași ca dv: dv = xdx.
2. Se constată că du = u'dx: du = (lnx) 'dx =.
Noi găsim. = (setăm C = 0).
3. Folosim formula. = lnx # 8729; - = = lnx # 8729; - =.
Soluția. 1. Integralul inițial are forma. în consecință, luăm un polinom (u = 2x-3), factorii rămași sunt dv: dv = e 3x dx.
2. Se constată că du = u'dx: du = (2x-3) 'dx = 2dx.
Noi găsim. = (setăm C = 0).
3. Prin formula avem: = (2x-3) # 8729; - = =.
- Care sunt principalele metode de integrare?
- Ce se numește integrare directă?
- Cum se calculează integralele unor funcții complexe?
- Care este esența metodei de integrare prin substituire?
- Care este esența metodei de integrare prin părți?
Pagina generată în 0,05 secunde.