Încercați să demonstrați că nu există alte soluții, cu excepția perechilor de numere enumerate în cel de-al doilea indiciu.
Prezentăm primul argument „rafinat“ (în același sens în care a rafinat ulei vegetal, care este purificat din impurități), care nu utilizează aceste informații sacre pe care am menționat la sfaturi.
Să presupunem că \ (k = \ frac \). Dacă (și de ce nu?) A = b. condiția este ca 2a 2 + 1 este divizibil cu un 2. Deoarece 2a 2 este întotdeauna împărțită într-o 2. 1, care, de asemenea, trebuie să fie divizibil cu un 2. în cazul în care a = 1. Dar, dacă a = b = 1, obținem \ (k = \ frac = 3 \), adică, pentru acest caz am dovedit totul.
Acum, lăsați un ≠ b. Fără pierderea generalității, putem presupune că a este cea mai mare dintre cele două numere (adică a> b). Să încercăm să găsim o altă pereche de numere naturale ("B"), care va satisface și condiția problemei, dar va fi mai mică decât cea originală.
Rescriem ecuația referitoare la a. b și k. în forma a 2 - kab + b 2 + 1 = 0. Și pentru a face chiar mai clar ce vom face, în loc de a scrie x. Aceasta este o ecuație patratică (cu privire la x): \ (x ^ 2-kb \ cdot x + (b ^ 2 + 1) = 0 \). Nu o vom rezolva, dar amintiți-vă că rădăcinile ei x1 și x2 (dacă există!) Satisfaceți teorema lui Viet.
\ [x_1 + x_2 = kb, \] \ [x_1 \ cdot x_2 = b ^ 2 + 1. \]
Una dintre aceste rădăcini știm: x1 = a. Prin urmare, putem spune că există oa doua rădăcină \ (x_2 = kb-a = \ frac \). Prima condiție asigură faptul că x2 este un număr întreg, iar al doilea - că este pozitiv. Asta este, x2 este un număr natural.
Astfel, numerele x2 și b satisfac și condiția problemei, adică \ (x_2 ^ 2 + b ^ 2 + 1 \) este divizibilă de x2b. iar coeficientul împărțirii este egal cu același număr k. Mai mult decât atât, deoarece am presupus că a> b. apoi \ (x_2 = \ frac \ le \ frac
Se pare că dacă b> 1, teorema lui Viete ne permite să facem un salt de la soluția (a. B) la o soluție mai mică (a. B ') = (b. Kb - a).
Și ce se întâmplă când sarele ne conduc la b = 1 (evident, trebuie să se întâmple mai devreme sau mai târziu)?
Pentru b = 1, ecuația va avea forma x 2 - kx + 2 = 0. Deoarece are o rădăcină naturală a. iar prin teorema Viet produsul de rădăcini este egal cu 2, atunci a doua rădăcină este egală cu 2 / a. Și deoarece este egal cu întregul k - a. atunci trebuie să fie un divizor al lui 2. Aceasta oferă două posibilități:
1) dacă a = 2, atunci 4 - 2k + 2 = 0, de unde k = 3.
2) dacă a = 1, atunci 1 - k + 2 = 0, de unde din nou k = 3.
Deoarece k a rămas același pentru toate "salturile", atunci k = 3 pentru orice pereche de numere (a. B). Aceasta încheie decizia.
Acum, să încercăm să aflăm exact ce am făcut și cum am ajuns la rezultatul potrivit. Prin solicită a fost cunoscut faptul că o pereche de numere (a. B), îndeplinește condiția problemei este unele dintre perechile (1, 1), (1, 2), (2, 5), (5, 13), (13 34), (34, 89), etc. modelul, care nu este în mod direct evidentă, dar cu siguranță a fost observat atunci când încearcă să rezolve, este după cum urmează: .. în cazul în care între fiecare pereche de scriere chiar și diferența lor, atunci vom obține numerele Fibonacci 1 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Pentru această relație secvență între trei termeni consecutivi sale, este foarte bine cunoscut: fn + 2 = fn + fn + 1. Și deoarece secvența "noastră" este numerele Fibonacci cu numere egale, putem scrie relația de recurență și pentru ea:
Într-adevăr, 5 = 3 · 2 - 1, 13 = 3 · 5 - 2, 34 = 3 · 13 - 5 și așa mai departe.
Aici factorul 3 este același cu cel pe care l-am notat cu litera k la începutul soluției. Dar nu ne putem baza pe ceea ce trebuie să dovedim, nu? Și aici teorema lui Vieta vine la salvare, datorită căreia tranziția de la o soluție la alta se face simplu - "salt". Când sari, este posibil să nu știm care este valoarea lui k. dar garantat să treacă de la soluția mai mare la cea mai mică, menținând aceeași valoare a lui k. Deci, mai devreme sau mai târziu, vom ajunge la decizia "cea mai mică". Mai departe este problema tehnologiei.
postfață
Articolul din Wikipedia Wikipedia Vieta jumping afirmă că această metodă de rezolvare a problemelor a apărut abia în 1988 în legătură cu sarcina propusă de Australia la Olimpiada Internațională a Școlilor. Iată sarcina:
Fie a și b numere întregi pozitive pentru care un 2 + b 2 este divizibil de ab + 1. Dovediți că coeficientul acestei diviziuni este un pătrat exact.
În același timp, este relatată o poveste amuzantă, descrisă mai întâi în cartea "Strategii pentru rezolvarea problemelor" de Arthur Engel:
De fapt, recepția "saltului" a fost cunoscută cu mult înainte de această olimpiadă. În special, problema pe care am discutat-o este un caz special al cercetării binecunoscutei ecuații Diophantine Markov, studiată inițial de către remarcabilul matematician rus Andrei Andreevich Markov în secolul al XIX-lea.
Ecuația Markov are forma
Dacă punem c = 1 în ea, obținem exact ecuația cu care avem de-a face. Are ecuația Markov soluții în care c nu este egal cu 1? Desigur, există. Iar cititorul are deja tot ce este necesar pentru a le găsi.
Fig. 1. Un exemplu al familiei de cercuri Apollonius. Imagine de pe site-ul en.wikipedia.org
O altă ilustrare interesantă a ideii "saltului din Vieta" poate servi ca seturi de Apollonia - o familie de cercuri în care fiecare atinge celelalte trei (Figura 1, vezi garnitura Apolloniană).
Dacă luăm o cvadruple de cercuri dintr-o astfel de familie care se ating reciproc în perechi, atunci pentru razele lor, formula pentru prima dată descoperită de faimosul chimist (!) Frederic Soddy este valabilă:
Dacă în loc de razele cercurilor le considerăm curburile ki (inversul radiațiilor), atunci fracțiunile complexe părăsesc formula:
De exemplu, pentru patru dintre cercurile mari din Figura 1 de curbură egală cu -1, 2, 2 și 3 (a trebuit să pună la faptul că atingerea internă „minus“ semnul). Prin urmare, după cum se poate ghici cititor pătrunzător, există doar o jumătate de pas la afirmația că curbura fiecărui cerc în (infinit) set Apolonius - întreg și aceste numere pot fi obținute de la unul de altul prin Wyeth sare.
Ecuația Markov poate fi citită într-un articol remarcabil al lui MG Kerin "Ecuația diophantină a lui AA Markov". despre seturile fractale ale lui Apollonia - în studiul lui K. Miller (în limba engleză). Mai multe sarcini frumoase, care sunt rezolvate folosind metoda de salt, pot fi găsite aici și aici.