Sens geometric
Graficul unei funcții patratice este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații patratice sunt punctele de intersecție a parabolei cu axa absciselor. Dacă parabola descrisă de funcția patratică nu intersectează axa absciselor, ecuația nu are rădăcini reale. În cazul în care se intersectează parabola abscisa într-un punct (nod al parabolei), ecuația are o rădăcină reală (de asemenea, spun că ecuația are două rădăcini coincidente). Dacă parabola intersectează axa absciselor la două puncte, ecuația are două rădăcini reale.
Dacă coeficientul a este pozitiv, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, dacă sunt negative, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Dacă coeficientul b este pozitiv, atunci vârful parabolei se află în jumătatea planului stâng, dacă cel negativ este în jumătatea dreaptă.
Determinarea formulei de rezolvare a ecuației patratice
Formula pentru rezolvarea ecuației patratice a x 2 + b x + c = 0 poate fi obținută după cum urmează:- transferăm c în partea dreaptă un x 2 + b x = - c
- noi multiplicăm ecuația cu 4 a (2 a x) 2 + 4 a b x = - 4 a c
- adăugați b 2 la ambele părți (2 a x) 2 + 4 a b x + b 2 = b 2 - 4 a c
- în partea stângă, selectăm pătratul complet (2 a x + b) 2 = b 2 - 4 a c
- extrageți rădăcina pătrată 2 a x + b = ± √ b 2 - 4 a c
- transferăm b în partea dreaptă 2 a x = - b ± √ b 2 - 4 a c
- divizăm ecuația cu 2 a
Discriminant al ecuației patratice
O ecuație patratică este un număr egal cu D = b 2 - 4 ac
O ecuație patratică cu coeficienți reali poate avea de la 0 la 2 rădăcini reale în funcție de valoarea discriminantului:- Pentru D> 0, există două rădăcini, și acestea sunt calculate prin formula
Suma rădăcinilor ecuației cvadrate reduse x 2 + px + q = 0 este egală cu coeficientul p. luate cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber q:
x 1 + x 2 = - p. x 1 x 2 = q.
Descompunerea ecuației patrate în factori
Dacă sunt cunoscute ambele rădăcini ale ecuației patrate, ea poate fi extinsă prin formula
axa 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2)
Exemple de rezolvare a ecuațiilor patratice
De exemplu. Găsiți rădăcinile ecuației patrate: 2x 2 + 5x + 3 = 0
D = 5 2 - 4 · 3 · 2 = 25 - 24 = 1