Având în vedere un anumit set finit A de n elemente.
Orice ordonare a acestor elemente, adică. E. Amplasarea lor în orice secvență, numită o permutare. Uneori se adaugă „de n elemente.“ unul alocat, de obicei, primar sau natural, ordine, care se numește permutarea trivială.
Elementele reale ale A nu ne interesează. Deseori considerate ca elemente iau numere întregi de la 1 la n, sau de la 0 la n -1.
Notăm mulțimea de permutări de n elemente prin P n. și capacitatea acesteia prin Pn.
Definiți familiare trei întrebări: ce este Pn. ca elemente de sortare P n. cum renumerotarea.
Teorema privind numărul de permutări
Teorema. Numărul de permutări de n elemente este egal cu n. - produs de numere de la 1 la n.
(Înțeles n. Citibil en-factorial.)
Dovada. Prin inducție. Pentru n = 1, formula evident adevărat.
Să presupunem că este adevărat pentru n - 1. Vom dovedi că deține pentru n. În primul rând fluidiza elementul n poate fi ales prin metode bine la primul element selectat moduri pot Pn -1 atribuite odihnă. De aceea, corect formula Pn = n × Pn -1.
Dacă Pn -1 = (n-1). PN = (n)!
permutări Numerotare, vom afișa o mulțime de P n reciproc singur (construct bijectie) la un alt set de T n. care introduce numerotarea va fi mult mai ușor, și apoi pentru orice element p ∈ P n ca numerele lui să ia o serie de imagini în T n.
Setul de T n - este un produs direct din mai multe segmente numerice
Deci, să construiască cartografiere.
Ia-o permutare de a scrie și în jos de lângă permutare ei banală. Deoarece primul indice are loc primul element (numărând de la zero), într-o rearanjare banală. Scriem în loc de coarde permutare triviale de caractere. Ca un al doilea indice avea loc a doua modificări element din această linie. Se repetă procesul până la sfârșitul anului.
Evident, indicele k este mai mică decât lungimea k consecutiv, iar ultimul index este zero.
Să acest proces, de exemplu.
Evident, acest proces este reversibil și că maparea inversă pentru a construi pe un set de indici de permutare inițială.
Numerotarea set T n
Orice produs direct al seturilor comandate poate fi privit ca un sistem numeric cu o bază variabilă. Amintiți-vă exemplul de secunde din prima lectură sau ia în considerare orice scară dimensiune vechi:
1 curte = 3 picioare,
1 picior = 12 inch
1 inch = 12 linii,
1 linie = 6 puncte.
(2, 0, 4, 2, 3) = 0 2 depouri picioare 4 inci 2 linii 3 puncte, câte puncte-l?
Necesitatea de a calcula (numita schema lui Horner) (((2 # 0180; 3 + 0) # 0180; 12 + 4) # 0180; 12 + 2) # 0180; 6 + 3.
Formula #. Hărți un set de indici i1. I2. ..., în -1. în camera lui, preferăm să scrie în formă de expresii recurente
Conform acestei formule # (2,0,1,2,2,0,0) = a (2,0,1,2,2,0,6).
a (2,1) = 2;
a (2,0,2) = 2 # 0180; 6 + 0 = 12;
a (2,0,1,3) = 12 # 0180; 5 + 1 = 61;
a (2,0,1,2,4) = 61 # 0180; 4 + 2 = 246;
a (2,0,1,2,2,5) = 246 # 0180; 3 + 2 = 740;
a (2,0,1,2,2,0,6) = 740 # 0180; 2 + 0 = 1480;
Pe baza celor de mai sus, pentru a sorta permutare simplu: trebuie să ciclu prin toate seturile de indici de T n. eșec pe fiecare set de permutare corespunzătoare.
Pentru a parcurge seturi de indici, observăm că practic fiecare suită - un număr de înregistrare în sistemul de număr special, cu o bază variabilă (de un sistem numit factorial).
Reguli de adăugare 1 în acest sistem este aproape la fel de simplu ca binar: trecerea de la încercarea de a adăuga ultima cifră în descărcarea curentă 1. Dacă este posibil, adăugați 1 oprire. Dacă este posibil, notați categoria de zero și du-te la cifra următoare.